[논문 리뷰] Numerical analysis of a nonlinear free-energy diminishing Discrete Duality Finite Volume scheme for convection diffusion equations

Clément Cancès, Claire Chainais-Hillairet외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 30.

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics참고 문헌 49인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 일반 메esh에서 비선형 이산 이중성 유한체적(DDFV) 스킴을 제안하여 비선형 대류-확산 방정식의 이산 에너지-소산 관계를 유지함으로써 연속 문제와 장기적인 거동가 일치시킨다. 이 스킴은 비선형 형태로 재구성된 유량을 통해 일반 메쉬에서 자유 에너지 감소 성질을 유지하며, 콤���성 추론을 통해 약한 해로의 수렴을 증명하고, 수치 결과는 상대 에너지의 지수 감쇠를 확인한다.

ABSTRACT

We propose a nonlinear Discrete Duality Finite Volume scheme to approximate the solutions of drift diffusion equations. The scheme is built to preserve at the discrete level even on severely distorted meshes the energy / energy dissipation relation. This relation is of paramount importance to capture the long-time behavior of the problem in an accurate way. To enforce it, the linear convection diffusion equation is rewritten in a nonlinear form before being discretized. We establish the existence of positive solutions to the scheme. Based on compactness arguments, the convergence of the approximate solution towards a weak solution is established. Finally, we provide numerical evidences of the good behavior of the scheme when the discretization parameters tend to 0 and when time goes to infinity.

연구 동기 및 목표

• 이방성 대류-확산 방정식에 대해 이산 수준에서 에너지-소산 관계를 유지하는 유한체적 스킴을 개발하는 것.
• 일반적이고 기울인 메쉬에서도 연속 문제의 장기적 거동, 특히 평형 상태로의 지수 감쇠를 유지하는 것.
• 기존의 두 점 유량 근사 방법을 초월하여 에너지 안정 스킴의 적용 범위를 넓히는 것.
• 콤팩턴스 기법을 사용하여 이산 해가 약한 해로 수렴하는 것을 확립하는 것.
• 최적 수렴 속도와 시간에 따른 상대 에너지의 지수 감쇠에 대한 수치적 증거를 제공하는 것.

제안 방법

• 대류-확산 방정식을 비선형 유량 형태로 재기본: $\mathbf{J} = -u\boldsymbol{\Lambda}\nabla(\log u + V)$, 이는 이산 에너지 보존을 가능하게 한다.
• 이산 이중성 유한체적(DDFV) 프레임워크를 사용하여, 이중 및 이중 메쉬를 활용해 이방성 확산과 대류를 처리한다.
• 이산 엔트로피 구조를 구성함으로써 이산 해가 연속 에너지-소산 관계를 반영하도록 하여 자유 에너지 감소 성질을 강제한다.
• 고정점 추론 및 이산 기울기와 유량의 성질을 사용하여 양수 이산 해의 존재를 증명한다.
• 메쉬와 시간 단계가 0으로 갈 때 이산 해의 수열에 콤팩턴스 기법을 적용하여 약한 해로의 수렴을 확립한다.
• 장기적 거동를 모니터링하고 지수 감쇠를 검증하기 위해 이산 상대 에너지 $\mathbb{E}_{\mathcal{T}}^n - \mathbb{E}_{\mathcal{T}}^\infty$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 메쉬에서 이방성 대류-확산 방정식에 대해 이산 에너지-소산 관계를 유지하는 비선형 DDFV 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 스킴은 연속 문제의 장기적 거동, 특히 평형 상태로의 지수 감쇠를 유지하는가?
• RQ3 이산 해가 메쉬 파arameter가 0으로 갈 때 항상 양수이면서 약한 해로 수렴하는가 보장되는가?
• RQ4 기울인 메쉬에서 이 스킴의 공간 및 시간 수렴 속도는 얼마인가?
• RQ5 이 스킴은 장기적 한계에서 상대 에너지의 지수 감쇠를 얼마나 잘 재현하는가?

주요 결과

• 스킴은 시간이 지남에 따라 이산 에너지가 감소함을 보장하여 이산 수준에서 기본 에너지-소산 관계를 유지한다.
• 수치 결과는 최적 수렴 속도를 보이며, 해의 공간 수렴 속도는 2차, 시간 수렴 속도는 메쉬 유형에 따라 1.5에서 2차 사이이다.
• 커셔웨이 및 사각형 메쉬에서 상대 에너지가 시간에 따라 지수 감쇠함을 확인하여, 스킴이 올바른 장기 동역학을 포착함을 입증한다.
• 모든 시뮬레이션에서 이산 해의 최소값이 양수를 유지하여 물리적 양수성의 양호한 유지가 이루어짐을 나타낸다.
• 이산 해가 약한 해로 수렴하는 것은 콤팩턴스 추론 및 이산 기울기와 엔트로피에 대한 균일한 유계성 조건을 사용하여 엄밀히 증명되었다.
• 경계에서의 이산 추적 불등식(정리 A.1)은 경계에서의 이산 추적 안정성을 보장하며 수렴 분석을 뒷받침한다.