[논문 리뷰] Numerical integration of dynamical systems with Lie series: Relativistic acceleration and non-gravitational forces

David Bancelin, Daniel Hestroffer외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 29.

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한 줄 요약

이 논문은 라그랑주 급수 수치적 적분 방법을 일반 상대성 이론적 가속도와 야르코프스키 효과를 포함하도록 확장하여, 비중력력이 작용하는 N체 문제에 대해 고정밀도, 심플렉틱적 적분을 가능하게 한다. 이 방법은 수성의 근일점 진동률에 대해 1.1×10⁻⁴ arcsec/revolution 이내의 정확도를 달성하며, 야르코프스키 효과에 의한 반장경의 변화에 대해 라우다우 및 분석적 결과와 약 5% 이내로 양호한 일치를 보인다.

ABSTRACT

The integration of the equations of motion in gravitational dynamical systems -- either in our Solar System or for extra-solar planetary system -- being non integrable in the global case, is usually performed by means of numerical integration. Among the different numerical techniques available for solving ordinary differential equations, the numerical integration using Lie series has shown some advantages. In its original form (Hanslmeier 1984), it was limited to the N-body problem where only gravitational interactions are taken into account. We present in this paper a generalisation of the method by deriving an expression of the Lie-terms when other major forces are considered. As a matter of fact, previous studies had been made but only for objects moving under gravitational attraction. If other perturbations are added, the Lie integrator has to be re-built. In the present work we consider two cases involving position and position-velocity dependent perturbations: relativistic acceleration in the framework of General Relativity and a simplified force for the Yarkovsky effect. A general iteration procedure is applied to derive the Lie series to any order and precision. We then give an application to the integration of the equation of motions for typical Near-Earth objects and planet Mercury.

연구 동기 및 목표

• 순수 중력 N체 문제를 넘어서 비중력력, 예를 들어 일반 상대성 이론적 가속도와 야르코프스키 효과를 포함한 라그랑주 급수 적분 방법을 확장하는 것.
• 위치 및 속도에 의존하는 외란에 적용 가능한 일반적인 재귀 공식을 유도하는 것.
• 핵심 천체역학 시스템에 대해 분석적 해와 기존 수치적 방법(예: 라우다우)과의 비교를 통해 확장된 적분기의 정당성을 검증하는 것.
• 수성과 지구근방 천체와 같은 행성의 장기적이고 고정밀도 시뮬레이션을 가능하게 하여 일반 상대성 및 비중력 외란을 포함하는 것.
• 일반화된 적분기를 통해 향후 충돌 가능성 평가, 안정성 연구 및 혜성 역학에 응용할 수 있도록 위치 및 속도에 의존하는 임의의 힘에 일반화하는 것.

제안 방법

• 원래 한슬마이어 및 드보라크(1984)의 프레임워크를 확장하여, 임의의 위치 및 속도에 의존하는 힘을 고려한 라그랑주 항의 일반화된 재귀 공식을 유도하는 것.
• 해밀토니안 운동 방정식을 라그랑주 급수 전개를 통해 적분하기 위해 라그랑주 연산자 형식을 적용하며, 해는 초기 조건에 작용하는 라그랑주 미분 연산자의 지수함수 형태로 표현된다.
• 표준 일반 상대성 이론 공식에서 유도된 근일점 진동률을 기반으로 후보-뉴턴 근사법을 통해 일반 상대성 이론적 가속도를 포함하는 것.
• 야르코프스키 효과를 위치 및 속도에 의존하는 힘으로 모델링하며, 궤도 요소에 대한 가우스 방정식과 일관된 단순화된 횡방향 성분 모델을 사용하는 것.
• 임의의 순서 및 정밀도에 도달하기 위해 라그랑주 급수 항을 계산하기 위한 일반적인 반복 절차를 구현하는 것으로 장기적 적분에서 고정밀도를 확보하는 것.
• 라그랑주 적분기 결과를 분석적 해(예: 수성의 근일점 진동률)와 라우다우 적분기 결과와 비교하여 방법의 정당성을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 라그랑주 급수 적분 방법은 일반 상대성 이론적 가속도와 야르코프스키 효과와 같은 비중력력까지 일반화할 수 있는가?
• RQ2 확장된 라그랑주 적분기는 수성의 근일점 이슬람과 같은 알려진 일반 상대성 이론적 진동률을 얼마나 정확하게 재현할 수 있는가?
• RQ3 라그랑주 적분기는 기존의 적분기 및 분석적 모델과 비교하여 야르코프스키 효과에 의한 반장경의 장기적 변화를 어느 정도 정확하게 재현하는가?
• RQ4 확장된 라그랑주 적분기는 수성과 같은 소행성과 같은 천체의 장기 궤도 진동을 고정밀도로 유지하면서도 정확하고 효율적인가?
• RQ5 천체역학에서 위치 및 속도에 의존하는 임의의 힘을 다룰 수 있도록 라그랑주 적분기를 일반화하는 데 실현 가능성이 있는가?

주요 결과

• 확장된 라그랑주 적분기는 수성의 일반 상대성 이론적 근일점 진동률을 오직 1.1×10⁻⁴ arcsec/revolution 이내의 오차로 재현하며, 분석적 값 0.103526 arcsec/revolution 와 뛰어난 일치를 보인다.
• 야르코프스키 효과에 대해 라그랑주 적분기는 반장경 이동량을 0.1–0.3 km/revolution 이내로(즉, 약 0.3–0.5% 차이) 라우다우 적분기 결과와 일치시키며, 체슬리 등(2008)의 값과 약 4–5% 이내로 일치한다.
• 이 방법은 질량이 없는 천체와 질량이 있는 천체를 동시에 처리할 수 있으며, 라우다우 적분기의 능력과 일치한다.
• 알고리즘이 지구근방 천체의 장기적 적분을 정확하게 수행할 수 있도록 하여, 충돌 가능성 및 근접접촉 연구에 필수적인 요소를 제공한다.
• 위치 및 속도에 의존하는 힘을 포함한 라그랑주 항의 재귀 공식이 일반화되어 향후 다른 외란에 대한 확장 기반을 마련한다.
• 구현 결과 라그랑주 급수 방법이 비중력력이 포함된 상황에서도 고정밀도, 심플렉틱적 적분기로 유지됨을 입증하여 안정성 및 천체역학적 진화 연구에의 응용 가능성을 뒷받침한다.