[논문 리뷰] Numerical solutions of the Dicke Hamiltonian

M. A. Bastarrachea-Magnani, Jorge G. Hirsch|Redalyc (Universidad Autónoma del Estado de México)|2011. 08. 02.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 복사장에 대해 포크 상태와 코herent 상태 기반 기저를 사용하여 딕 흐름방정식의 비교적 수치적 연구를 제시한다. 이는 코herent 상태 기저가 수렴에 필요한 광자 상태 수와 계산 비용을 크게 감소시켜 초순응상에서 특히 유리하며, 이로 인해 대규모 N 계산이 가능하게 한다. 또한 두 기저 모두 일관된 물리적 관측량을 제공한다.

ABSTRACT

We study the numerical solutions of the Dicke Hamiltonian, which describes a system of many two level atoms interacting with a monochromatic radiation field into a cavity. The Dicke model is an example of a quantum collective behavior which shows superradiant quantum phase transitions in the thermodynamic limit. Results obtained employing two different bases are compared. Both of them use the pseudospin basis to describe the atomic states. For the photon states we use in one case Fock states, while in the other case we use a basis built over a particular coherent state, associated to each atomic state. It is shown that, when the number of atoms increases, the description of the ground state of the system in the superradiant phase requires an equivalent number of photons to be included. This imposes a strong limit to the states that can be calculated using Fock states, while the dimensionality needed to obtain convergent results in the other basis decreases when the atomic number increases, allowing calculations that are very difficult in the Fock basis. Naturally, it reduces also the computing time, economizing computing resources. We show results for the energy, the photon number and the number of excited atoms, for the ground and the first excited state.

연구 동기 및 목표

• 유한한 N에 대해 정확한 해가 없는 유한한 크기의 딕 흐름방정식을 해결하기 위한 효율적인 수치적 방법을 개발하고 비교한다.
• 원자 수 N이 증가함에 따라 광자 截단이 불리하게 증가하는 포크 기저에서 발생하는 계산의 한계를 해결한다.
• 원자 이중스핀 상태와 관련된 코herent 상태로 구성된 새로운 기저의 성능과 수렴성을 평가한다.
• 기본 상태와 첫 번째 올림 상태에 대한 핵심 물리적 관측량—에너지, 광자 수, 그리고 흥분된 원자 수의 분포를 계산하고 비교한다.
• 코herent 상태 기저를 사용하여 더 큰 시스템에서 초순응 양자상전이를 연구할 수 있음을 입증한다.

제안 방법

• 복사장에 대해 포크 상태와 코herent 상태 기반 기저를 사용하여 딕 흐름방정식을 수치적으로 대각화한다.
• 포크 기저에서는 광자에 대해 수량 상태 |n⟩과 원자 이중스핀 상태에 대해 |j,m⟩를 사용하여 해밀토니안 행렬을 구성하며, 표준 딕 흐름방정식에서 유도된 행렬 원소를 사용한다.
• 코herent 상태 기저에서는 각 원자 상태와 관련된 코herent 상태 |α⟩를 사용하여 광자 힐베르트 공간을 구성하며, 원자 구성에 적합한 기저를 형성한다.
• 열역학적 한계를 확보하고 집단적 성질을 유지하기 위해 상호작용 항을 1/√N로 스케일링한다.
• 계산 효율성은 증가하는 N과 결합 강도 γ에 따라 필요한 광자 截단(n_max 또는 N_max)과 계산 시간을 추적하여 평가한다.
• 에너지, 광자 수 ⟨a†a⟩, 원자 흥분 수 ⟨J_z⟩ 등의 물리적 관측량을 계산하고, 시스템 크기 스케일링을 연구하기 위해 j = N/2로 정규화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 포크 기저와 코herent 상태 기저에서 원자 수 N과 결합 강도 γ가 증가함에 따라 필요한 광자 截단(n_max 또는 N_max)은 어떻게 변화하는가?
• RQ2 특히 초순응상에서 코herent 상태 기반 기저가 포크 기저보다 적은 수의 상태로 수렴 결과를 달성할 수 있는가?
• RQ3 두 기저에서 기저 상태와 첫 번째 올림 상태의 에너지, 광자 수, 원자 흥분 수는 γ와 N에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 코herent 상태 기저는 물리적 정확성을 유지하면서 계산 시간과 자원 사용을 얼마나 줄이는가?
• RQ5 코herent 상태 기저는 열역학적 한계에서 알려진 분석적 극한과 상전이 특성을 정확히 재현하는가?

주요 결과

• 포크 기저에서는 필요한 광자 수 n_max가 γ와 N이 증가함에 따라 급격히 증가하여, j = 10이고 γ = 2.0일 경우 78을 초과한다. 이는 대규모 N 계산을 불가능하게 한다.
• 반면에 코herent 상태 기저는 j = 10이고 γ = 2.0일 경우에만 N_max = 13으로 충분하며, 계산 시간도 크게 감소한다(포크 기저의 2499.96초 대비 583.3초).
• j = 20이고 γ = 2.0일 경우 포크 기저는 실용적 한계 내에서 수렴하지 못하며(기록된 n_max 없음), 반면 코herent 기저는 N_max = 10으로 수렴하고 계산 시간은 888.784초이다.
• 기본 상태 에너지는 γ 증가에 따라 단조롭게 감소하며, 임계 결합 강도에서 명확한 꺾임을 보이며 초순응상 전이와 일치한다.
• 기본 상태에서 광자 수의 기대값은 임계 γ에서 급격히 증가하여 초순응상에서 매크로스코픽 광자 점유를 나타낸다.
• 기본 상태에서 흥분된 원자 수 ⟨J_z⟩는 임계 결합 강도에서 크게 감소하여 정상상에서 초순응상으로의 전이를 확인한다.