[논문 리뷰] Observer design for invariant systems with homogeneous observations

Christian Lageman, Jochen Trumpf외 1명|ArXiv.org|2008. 10. 04.

Adaptive Control of Nonlinear Systems참고 문헌 41인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 유한차원 연결 리군 위에서의 불변 시스템에 대해, 보조군 작용에 의해 생성되는 동차 출력을 갖는 새로운 관측기 설계를 제안한다. 시스템 동역학을 동차 출력 공간에 투영함으로써, 관측기 오차 동역학의 구조적 분해와 불변성 성질을 활용하여, 거의 전역 수렴을 보장하는 기울기 유사 관측기를 개발한다.

ABSTRACT

This paper considers the design of nonlinear observers for invariant systems posed on finite-dimensional connected Lie groups with measurements generated by a transitive group action on an associated homogeneous space. We consider the case where the group action has the opposite invariance to the system invariance and show that the group kinematics project to a minimal realisation of the systems observable dynamics on the homogeneous output space. The observer design problem is approached by designing an observer for the projected output dynamics and then lifting to the Lie-group. A structural decomposition theorem for observers of the projected system is provided along with characterisation of the invariance properties of the associated observer error dynamics. We propose an observer design based on a gradient-like construction that leads to strong (almost) global convergence properties of canonical error dynamics on the homogeneous output space. The observer dynamics are lifted to the group in a natural manner and the resulting gradient-like error dynamics of the observer on the Lie-group converge almost globally to the unobservable subgroup of the system, the stabiliser of the group action.

연구 동기 및 목표

• 로봇 상태 추정에서 흔한 왼쪽 불변 동역학과 오른쪽 불변 출력을 갖는 불변 시스템에 대한 관측기 설계의 격차를 메운다.
• 관측 가능한 동역학의 최소 실현을 가능하게 하기 위해 동차 출력 다양체의 몫 공간에서 관측기 설계 문제를 수립한다.
• 관측기 오차 동역학의 불변성 성질을 특성화하여 관측기와 식물 간의 자율적 결합을 보장한다.
• 투영된 시스템에서 기울기 유사 관측기 설계를 구축하고, 이를 전체 리 군으로 올리며 강력한 안정성 보장을 확보한다.
• 관측기의 올림된 형태가 비관측 부분군(군 작용의 안정자)으로 거의 전역적으로 점근적으로 안정성을 확보할 수 있는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 전체 시스템 동역학을 전이성 군 작용을 통해 동차 출력 공간에 투영함으로써, 관측 가능한 동역학의 최소 실현을 도출한다.
• 동기화된 내부 모델과 동치성 혁신 항목으로 구성된 관측기의 구조적 분해를 도입하여 오차 동역학의 불변성을 보장한다.
• 동차 출력 공간에 정의된 비용 함수를 사용하여 기울기 유사 혁신 항목을 구성하며, 이 기울기는 출력 다양체의 리만 기하학적 구조에서 유도된다.
• 군 작용을 이용하여 투영된 관측기 동역학을 리 군 상태 공간으로 다시 올림으로써, 불변성과 안정성 성질을 유지한다.
• 리 군에서 오른쪽 불변 메트릭(예: $\frac{1}{2}\operatorname{tr}((\bar{\Omega}(v))_{\times}^\top(\bar{\Omega}(w))_{\times})$)을 사용하여 기울기를 정의하고 기하학적 일관성을 확보한다.
• 특히 $SO(3)$에서의 명시적 관측기 동역학을 $\dot{\hat{R}} = \hat{R}u + k\hat{R}(y \times \hat{y})_{\times}$로 유도하였으며, 이는 알려진 보완 필터와 편향 보정 구조와 일치한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시스템 동역학과 보완 불변성을 갖는 리 군 위의 불변 시스템에 대해, 관측기 설계를 체계적으로 접근할 수 있는 방법은 무엇인가?
• RQ2 이러한 시스템에서 관측 가능한 동역학의 최소 실현은 무엇이며, 비관측 부분군과의 관계는 어떠한가?
• RQ3 관측기 오차 동역학 간의 자율적 결합을 보장하기 위해 혁신 항목이 만족해야 할 불변성 성질은 무엇인가?
• RQ4 동차 출력 공간에서의 기울기 유사 구성이 전체 리 군으로 올라간 후에도 강력한 수렴 성질을 보장할 수 있는가?
• RQ5 $SO(3)$에서 자세 추정을 위한 벡터 측정치를 갖는 경우, 올림된 관측기의 명시적 형태와 안정성 행동은 어떠한가?

주요 결과

• 보완 불변성(왼쪽 불변 동역학, 오른쪽 불변 출력)을 갖는 시스템은 동차 출력 공간에 투영되어 최소 실현이 가능하며, 군 작용의 안정자 부분군이 비관측 부분군에 해당한다.
• 제안된 기울기 유사 혁신 항목 하에서 동차 출력 공간에서의 관측기 오차 동역학은 거의 전역적으로 점근적으로 안정적이며, 진짜 출력으로의 수렴이 비관측 부분군까지 보장된다.
• 리 군 상에서 올려진 관측기는 비관측 부분군으로 점근적으로 안정되며, 비용 함수에 대한 적절한 가정 하에 거의 전역적으로 수렴이 보장된다.
• 명시적 관측기 형태는 $\dot{\hat{R}} = \hat{R}u + k\hat{R}(y \times \hat{y})_{\times}$로 유도되었으며, 자세 추정에서 널리 사용되는 보완 필터의 구조와 일치한다.
• 올려진 비용 함수 $\tilde{f}(\hat{R}, R) = \frac{k}{2}\|\hat{R}^\top y_0 - R^\top y_0\|^2$의 기울기는 관측기 동역학을 유도하며, 기하학적 관측기 설계 원칙과 일관성을 확인한다.
• 오른쪽 불변 메트릭을 $S^2$의 접선 공간에 투영하면 표준 유클리드 메트릭이 도출되며, 이는 관측기 설계의 기하학적 일관성을 검증한다.