[논문 리뷰] Octahedral, dicyclic and special linear solutions of some unsolved Hamilton-Waterloo problems

Simona Bonvicini, Marco Buratti|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 29.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 6인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 비아벨군을 사용하여 완전 그래프와 칵테일 파티 그래프의 정규 2-분할을 구성함으로써, Danziger, Quattrocchi 및 Stevens가 남긴 9개의 이전에 해결되지 않은 해밀턴-워터루 문제(HWPs)에 대해 정점에 대해 정확히 전이적인 해를 제공한다. K₄₈−I에 대해서는 이진 옥타드랄 군을, K₂₄−I에 대해서는 특수선형군 SL₂(3)을 사용하여, 주어진 삼각형 및 사각형 인자들을 가진 G-정규 분할을 달성함으로써, 모든 열려 있는 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

We give a sharply-vertex-transitive solution of each of the nine Hamilton-Waterloo problems left open by Danziger, Quattrocchi and Stevens.

연구 동기 및 목표

• Danziger, Quattrocchi 및 Stevens가 남긴 9개의 해결되지 않은 해밀턴-워터루 문제(HWPs)를 해결하기 위해.
• 비아벨군을 사용하여 단일 반전 원소를 가진 정점에 대해 정확히 전이적인(G-정규) 완전 및 칵테일 파티 그래프의 2-분할을 구성하기 위해.
• K₄₈−I와 K₂₄−I에서 주어진 삼각형 인자 수와 사각형 인자 수에 대해 그러한 분할이 존재함을 보여주기 위해.
• 비아벨군 위의 카일리 그래프에서 부분 차분의 방법을 적용하여 순환 분할을 달성하고 2-분할을 유도하기 위해.
• HWP(48;3,4;5,18), HWP(48;3,4;7,16), HWP(48;3,4;9,14), HWP(48;3,4;13,10), HWP(48;3,4;15,8), HWP(48;3,4;17,6), 및 HWP(24;3,4;5,5)에 대해 G-정규 해가 존재함을 확립하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 K₄₈−I에 대해 정점에 대해 전이적인 자기동형군으로서 이진 옥타드랄 군 G(기호 ḞO로 표기)를 사용하며, G∖{1} 및 G∖{1,−1} 위에 카일리 그래프를 구성한다.
• 그들은 카일리 그래프의 기저 순환 C₁부터 C₉를 정의하며, 각 순환의 안정자군이 부분 차분을 통한 궤도 분해를 가능하게 한다.
• 각 기저 순환 Cᵢ에 대해, 궤도 Orb_G(Cᵢ)는 G의 대칭 부분집합 Ωᵢ를 가지는 카일리 그래프 Cay[G:Ωᵢ]의 순환 분할을 이룬다.
• 대칭 부분집합 Ωᵢ는 부분 차분을 통해 계산되며, G∖{1,−1}을 분할함을 보여주어 K₄₈−I의 완전한 분할을 확보한다.
• 2-요소 Fᵢ는 하위군 Sᵢ(K, G 또는 L)에 대한 궤도로서 형성되며, 안정자군이 각각 3, 1, 또는 4의 궤도 길이를 보장한다.
• K₂₄−I에 대해서는 특수선형군 SL₂(3)을 정점에 대해 전이적인 군으로 사용하며, 기저 순환 C₁부터 C₆가 G-정규 순환 분할을 형성한다. 이는 G∖{E,2E}를 대칭 집합 Ωᵢ로 분할함으로써 K₂₄−I를 분할한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 K₄₈−I에 대해 정확히 r개의 삼각형 인자와 나머지가 사각형 인자인 G-정규 2-분할이 존재하는가? 여기서 r ∈ {5,7,9,13,15,17}이다.
• RQ2 K₂₄−I에 대해 정확히 r개의 삼각형 인자와 나머지가 사각형 인자인 G-정규 2-분할을 구성할 수 있는가? 여기서 r ∈ {5,7,9}이다.
• RQ3 비아벨 군의 카일리 그래프에서 부분 차분의 방법을 사용하여 정점에 대해 정확히 전이적인 2-분할을 구성할 수 있는가?
• RQ4 정확히 하나의 반전 원소를 가지며 특정 하위군 안정자군을 갖는 군을 사용하여 K₄₈−I와 K₂₄−I의 정규 2-분할을 달성할 수 있는가?
• RQ5 부분 차분에서 유도된 대칭 부분집합 Ωᵢ가 항등원과 반전 원소를 제외한 군을 분할하여 완전한 순환 분할을 보장하는가?

주요 결과

• 정확히 삼각형 인자 5개와 사각형 인자 18개를 가진 K₄₈−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(48;3,4;5,18)를 해결한다.
• 정확히 삼각형 인자 7개와 사각형 인자 16개를 가진 K₄₈−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(48;3,4;7,16)를 해결한다.
• 정확히 삼각형 인자 9개와 사각형 인자 14개를 가진 K₄₈−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(48;3,4;9,14)를 해결한다.
• 정확히 삼각형 인자 13개와 사각형 인자 10개를 가진 K₄₈−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(48;3,4;13,10)를 해결한다.
• 정확히 삼각형 인자 15개와 사각형 인자 8개를 가진 K₄₈−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(48;3,4;15,8)를 해결한다.
• 정확히 삼각형 인자 17개와 사각형 인자 6개를 가진 K₄₈−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(48;3,4;17,6)를 해결한다. 또한 정확히 삼각형 인자 5개와 사각형 인자 5개를 가진 K₂₄−I의 G-정규 2-분할이 존재하며, 이는 HWP(24;3,4;5,5)를 해결한다.