[논문 리뷰] Odd Entries in Pascal's Trinomial Triangle

Steven R. Finch, Pascal Sebah외 1명|ArXiv.org|2008. 02. 19.

History and Theory of Mathematics참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 파스칼의 삼항계수 삼각형에서 홀수 계수의 수를 분석하며, $ g(n) $은 $ (1+x+x^2)^n $의 홀수 항의 개수로 정의된다. 모셰의 알고리즘과 무작위 행렬 곱의 리아푸노프 지수 분석을 통해 $ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $ 및 $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $의 점 渐진적 성장률을 도출한다. 이로써 $ \frac{\ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N))}{\ln n} \to \frac{\ln \xi}{\ln 2} $임을 증명하며, $ \xi \approx 2.813 $ 이고, 리아푸노프 지수에 대한 추측을 세 가지 다른 행렬을 사용한 재구성된 행렬 곱 표현을 통해 확인한다.

ABSTRACT

The nth row of Pascal's trinomial triangle gives coefficients of (1+x+x^2)^n. Let g(n) denote the number of such coefficients that are odd. We review Moshe's algorithm for evaluating asymptotics of g(n) -- this involves computing the Lyapunov exponent for certain 2x2 random matrix products -- and then analyze further examples with more terms and higher powers of x.

연구 동기 및 목표

• 확장된 $ (1+x+x^2)^n $에서 홀수 계수의 수인 $ g(n) $의 점 渐진적 행동을 분석하는 것.
• 무작위 행렬 곱에서 리아푸노프 지수를 계산하는 모셰의 알고리즘을 이항계수에서 삼항계수 및 고차항으로 확장하는 것.
• 이항계수에서의 알려진 결과를 삼항계수로 일반화하여 $ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $ 및 $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $의 정밀한 점 渐진적 성장률을 도출하는 것.
• 삼항계수의 경우 리아푸노프 지수에 대한 추측을 세 가지 서로 다른 행렬을 사용한 재구성된 행렬 곱 표현을 통해 엄밀히 증명하는 것.

제안 방법

• 모셰의 알고리즘을 적용하여 $ D_{n_{k-1}} D_{n_{k-2}} \cdots D_{n_0} $ 형태의 행렬 곱을 통해 $ g(n) $을 계산한다. 여기서 $ D_s $ 는 삼항계수 삼각형을 2로 나눈 나머지에 기반한 $ 3 \times 3 $ 행렬이다.
• 행렬 요소를 $ D_s(i,j) = \#\{ t : B_j^{s,t} = A_i \} $ 로 정의한다. 여기서 $ B_j^{s,t} $ 는 삼항계수 삼각형의 짝수-홀수 위치에서 추출된 벡터이다.
• 행렬 곱 표현식 $ g(n) = w^T D_{n_{k-1}} \cdots D_{n_0} e_0 $ 를 사용하여 $ w $ 와 $ e_0 $ 를 가중치 및 지시 벡터로 정의하고, $ g(n) $ 을 재귀적으로 계산한다.
• 행렬 $ D_0 + D_1 $ 의 스펙트럼 반경을 분석하여 $ \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $ 의 성장률을 도출하며, 이로써 $ \frac{\ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N))}{\ln n} \to \frac{\ln \xi}{\ln 2} $ 를 얻는다. 여기서 $ \xi \approx 2.813 $ 이다.
• 행렬 곱을 $ \tilde{D}_j = D_1 D_0^j $ 로 재구성하여 시스템을 세 개의 행렬로 줄이고, 확률 $ 1/2, 1/4, 1/4 $ 을 부여함으로써 리아푸노프 지수 계산이 가능하도록 한다.
• 리아푸노프 지수를 $ \lambda = \frac{1}{2} \sum_{i,j} \sum_k p_i p_j q^k \ln(\beta_j^T M^k \alpha_i) $ 로 계산하고, $ \lambda / \ln 2 = 1 $ 이 됨을 확인함으로써 추측을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $, 즉 $ (1+x+x^2)^n $ 의 홀수 계수 수의 기대값의 로그의 점 渐진적 성장률은 무엇인가요?
• RQ2 $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $, 즉 홀수 계수 수의 기대값의 로그의 점 渐진적 성장률은 무엇인가요?
• RQ3 삼항계수에 관련된 무작위 행렬 곱의 리아푸노프 지수는 이항계수의 경우와 비교하여 어떻게 되나요?
• RQ4 삼항계수의 경우 리아푸노프 지수에 대한 추측은 재구성된 행렬 곱 표현을 통해 엄밀히 증명할 수 있나요?
• RQ5 3k, 3k+1, 3k+2 형태의 이진수 1의 개수 분포는 삼진수 잔여류와 독립적인가요?

주요 결과

• $ \ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N)) $ 의 점 渐진적 성장률은 $ \frac{\ln \mathop{\mathrm{E}}(g(N))}{\ln n} \to \frac{\ln \xi}{\ln 2} $ 를 만족하며, 여기서 $ \xi \approx 2.813 $ 은 방정정식 $ \xi^3 - 2\xi^2 - 3\xi + 2 = 0 $ 의 실근이다.
• $ \mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N)) $ 의 점 渐진적 성장률은 $ \frac{\mathop{\mathrm{E}}(\ln g(N))}{\ln n} \to \frac{1}{2} $ 를 만족하며, 이는 이항계수의 경우와 유사하다.
• 삼항계수 행렬 곱에 대한 리아푸노프 지수 $ \lambda $ 는 $ \lambda / \ln 2 = 1 $ 을 만족함을 확인하여, 세 개의 행렬과 적절한 가중치를 사용한 재구성된 행렬 곱 표현을 통해 추측을 증명하였다.
• $ \sum_{k=0}^{\lfloor n/3 \rfloor} \#(3k) \sim \frac{1}{2\ln 2} \cdot \frac{n}{3} \ln n $ 이며, 여기서 $ \#(n) $ 은 $ n $ 의 이진수 전개에서 1의 개수이다. 이는 부록으로 도출된다.
• 결과는 이진수 전개에서 1의 평균 개수가 삼진수 잔여류 modulo 3 와 점근적으로 독립적임을 시사한다.
• 행렬 표현은 문제를 랭크 1인 세 개와 랭크 2인 하나의 행렬 곱으로 줄이며, $ M^k $ 에 대한 급수를 통해 리아푸노프 지수를 정확히 계산할 수 있게 한다.