[논문 리뷰] Łojasiewicz exponents of non-degenerate holomorohic and mixed functions

Mutsuo Oka|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 21.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 뉴턴 경계 조합론을 활용하여 비퇴화된 해석적 및 혼합 함수의 Łojasiewicz 지수에 대해 명시적인 상계를 제시한다. Fukui의 추론을 수정하여 보완하고, Łojasiewicz 비퇴화 조건 하에서 가중치가 부여된 다항함수에 대한 추측된 상계를 증명하며, 강한 비퇴화 조건을 통해 혼합 함수로 이론을 확장하여, 변형에 의한 Milnor fibrations의 수직성과 호환성을 확립한다.

ABSTRACT

We consider Łojasiewicz inequalities for a non-degenerate holomorphic function with an isolated singularity at the origin. We give an explicit estimation of the Łojasiewicz exponent in a slightly weaker form than the assertion in Fukui.For a weighted homogeneous polynomial, we give a better estimation in the form which is conjectured by Brzostowski, Krasinski and Oleksik under under some condition (the Łojasiewicz non-degeneracy). We also introduce Łojasiewicz inequality for strongly non-degenerate mixed functions and generalize this estimation for mixed functions.

연구 동기 및 목표

• Fukui의 이전 증명에서 발견된 결함을 수정하면서, 뉴턴 경계 자료를 사용하여 비퇴화된 해석적 함수의 Łojasiewicz 지수에 대해 명시적인 상계를 제공하는 것.
• Łojasiewicz 비퇴화 조건 하에서 [4]에서 제안된 가중치가 부여된 다항함수에 대한 추측된 상계를 검증하여 이전의 추정치를 향상시키는 것.
• 강한 비퇴화 조건을 통해 Łojasiewicz 부등식을 실해석적 혼합 다항함수로 일반화하는 것.
• 레벨 집합의 수직성에 의해, 함수에 단항식을 추가할 때 Milnor fibrations의 위상이 유지되는 조건을 설정하는 것.
• 충분히 고차항을 포함하는 일반적인 변형 하에서 혼합 함수의 Milnor fibrations가 호환성과 동형성을 갖는다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 뉴턴 경계와 그 이중 뉴턴 다이어그램을 사용하여 가중치 벡터와 면을 정의하고, 특이점의 조합적 분석을 가능하게 한다.
• 표준화된 가중치 벡터 $\hat{P}$ 를 도입하여 지지 초평면 방정식을 정규화하고 기울기 성장률을 분석한다.
• Łojasiewicz 비퇴화 조건을 적용하여 기울기 성분의 수직성을 확보하고, 영의 차수를 제어한다.
• Łojasiewicz 지수를 분석하기 위해 $\xi(f)$, $\eta_{J,max}(f)$, $\eta'_{J,max}$ 등의 핵심 불변량을 정의한다.
• 실수부와 허수부에 대한 수정된 기울기 쌍과 잭비안 이중 뉴턴 다이어그램을 도입하여 혼합 함수로 이론을 확장한다.
• 고차항을 갖는 일반적인 혼합 단항식 $R$ 을 사용한 가족 $f_s = f + sR$ 을 활용한 변형 방법을 통해, 링크의 수직성과 호환성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비퇴화된 해석적 함수에 대해 뉴턴 경계 자료를 사용하여 Łojasiewicz 지수에 대한 명시적인 상계를 도출할 수 있는가? 이는 Fukui의 접근법의 결함를 수정하는 데서 유도된다.
• RQ2 [4]에서 제안한 가중치가 부여된 다항함수에 대한 추측된 상계는 Łojasiewicz 비퇴화 조건 하에서 성립하는가?
• RQ3 혼합 함수가 $z_i$ 와 $\bar{z}_i$ 를 모두 포함할 때 Łojasiewicz 부등식은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ4 혼합 함수에 고차항 단항식을 추가할 경우, 그 함수의 Milnor fibrations 위상이 유지되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반적이고 충분히 고차항을 갖는 변형이 적용된 경우, 혼합 함수의 링크는 그 변형된 버전의 링크와 호환되는가?

주요 결과

• 비퇴화된 해석적 함수에 대해 $\ell_0(f)$ 의 명시적인 상계로 $\max\{\xi(f), \eta_{J,max}(f), \eta'_{J,max}\}$ 가 확립되었으며, 이는 유효하다.
• Łojasiewicz 비퇴화 조건 하에서 가중치가 부여된 다항함수에 대해 $\ell_0(f) \leq \eta(R)$ 이 증명되었으며, 이는 [4]에서 제안한 추측을 확인한다.
• Łojasiewicz 비퇴화 조건은 혼합 함수의 기울기 성분이 해석 곡선을 따라 동시에 영이 되지 않음을 보장하여, 상계 유도를 가능하게 한다.
• 혼합 함수의 경우, $f$ 가 강한 비퇴화 조건을 만족하고 $\dim \Gamma(f) = n-1$ 이면, Łojasiewicz 지수는 $\eta(R)$ 로 상한이 둔다.
• $r_0 > 0$ 이 존재하여 모든 $r \leq r_0$ 에 대해 구면 $S_r$ 이 모든 $V_s = f_s^{-1}(0)$ 와 수직으로 만난다. 이는 링크의 호환성과 Milnor fibrations의 동형성을 암시한다.
• 고차항의 차수 $N > \eta''_{J,max}(f) + 1$ 인 $R$ 을 갖는 변형 $f_s = f + sR$ 은 위상적 특성의 변화 없이 특이점의 위상을 유지한다. 이는 수직성과 호환성에 의해 입증된다.