[논문 리뷰] On a conjecture of Atiyah

Rostislav Grigorchuk, Peter A. Linnell외 2명|arXiv (Cornell University)|2000. 09. 19.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 38

한 줄 요약

이 논문은 강력한 아티야 추측에 대한 반례를 구성함으로써 이를 뒤집는다. 7차원 리만다만의 기본군이 G인 닫힌 다양체에서, 세 번째 $L^{2}$-베티 수가 $\frac{1}{3}$임을 보여주며, 이는 분모가 2의 거듭제곱을 나누지 않는 유리수이다. 이는 G의 유한부분군의 순서를 나누지 않는다. 이 결과는 램플라이터 군의 마코프 연산자의 스펙트럼 분석을 통해 도출되며, 관련 연산자의 핵 차원이 비정수 $L^{2}$-베티 수를 제공함을 보여, 이러한 불변량이 유한부분군 순서의 역수로 생성되는 부분군에 반드시 속해야 한다는 추측을 반박한다.

ABSTRACT

In this note we explain how the computation of the spectrum of the lamplighter group from \cite{Grigorchuk-Zuk(2000)} yields a counterexample to a strong version of the Atiyah conjectures about the range of $L^2$-Betti numbers of closed manifolds.

연구 동기 및 목표

• 닫힌 다양체의 $L^{2}$-베티 수가 유리수여야 하며, 그 분모가 기본군의 유한부분군 순서를 나누어야 한다는 강력한 아티야 추측을 반박하기 위해.
• 이 추측이 기본군이 원시적 암비에이블 군일 경우에도 성립하지 않음을 보여주기 위해, 특히 유한부분군 순서에 상한이 없을 경우를 대비하여.
• 강력한 아티야 추측을 만족하는 군의 집합이 유한부분군 순서에 상한이 없을 경우, HNN 확장이나 암거화된 곱에 대해 닫혀 있지 않음을 보여주기 위해.
• 유한부분군의 구조와 연관된 유리수 조건을 위반하는 비정수 $L^{2}$-베티 수를 가진 다양체의 구체적 예를 제시하기 위해.

제안 방법

• 저자들은 램플라이터 군에서의 마코프 연산자 $A$의 스펙트럼을 분석하며, [GZ01]의 결과를 활용하여 이 군에서의 랜덤 워크의 스펙트럼 측도에 기반한다.
• 그들은 $A$의 스펙트럼 측도가 $[-1,1]$의 조밀한 부분집합에 대해 이산적이고, $q \in \mathbb{N}$에 대해 $\frac{1}{2^q - 1}$ 값에서 점프를 가짐을 보여, $\frac{1}{3}$ 포함.
• $L^{2}$-베티 수 $b_{3}^{(2)}(M)$는 연산자 $A$의 핵 차원으로 계산되며, 스펙트럼 분석을 통해 $\frac{1}{3}$로 확인된다.
• 기본군이 $G$인 유한한 3차원 CW複합체 $X$를 군 표현으로부터 구성하고, 조합적 $L^{2}$-코チェ인 복합체를 사용하여 그 $L^{2}$-베티 수를 계산한다.
• 복합체 $X$는 $\mathbb{R}^8$에 삼각분할되고 임베딩되며, 두꺼워져 경계가 $M$인 부드러운 8차원 다양체로 변환되며, 이는 $X$와 4-동치임을 보여 $L^{2}$-베티 수를 유지한다.
• $L^{2}$-호지-데 라무 정리에 의해, 리만다만 $(M,g)$의 해석적 $L^{2}$-베티 수는 조합적 불변량과 일치함을 확인하여, $b_{3}^{(2)}(M,g) = \frac{1}{3}$을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 강력한 아티야 추측을 위반하는, $L^{2}$-베티 수가 유리수가 아닌 닫힌 다양체가 존재하는가?
• RQ2 기본군이 원시적 암비에이블이면서 유한부분군 순서에 상한이 없을 경우, 강력한 아티야 추측을 위반할 수 있는가?
• RQ3 토르션 없는 기본군을 가진 강력한 아티야 추측에 대한 반례가 존재하는가? 이는 군환에서의 제로디바이저 추측에 영향을 미칠 수 있다.
• RQ4 토르션 없는 군에서의 마코프 연산자의 스펙트럼 측도가 절대연속적이지 않거나 특이 성분을 포함할 수 있는가?
• RQ5 토르션 없는 군에서 마코프 연산자가 스펙트럼 갭을 가진다면, 이는 군의 구조나 그 $L^{2}$-코호몰로지에 더 강력한 성질을 암시하는가?

주요 결과

• 기본군이 $G$인 7차원 닫힌 다양체의 세 번째 $L^{2}$-베티 수는 정확히 $\frac{1}{3}$이며, 이는 분모가 2의 거듭제곱을 나누지 않는 유리수이다. 이는 $G$의 유한부분군 순서를 나누지 않는다.
• $G$는 램플라이터 군의 메타아벨 HNN 확장이며, 모든 유한부분군은 기본 아벨 2군이므로 $\operatorname{fin}^{-1}(G) = \mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$, 즉 이진 유리수이다.
• $\frac{1}{3}$은 $\mathbb{Z}[\frac{1}{2}]$ 외부에 위치하므로, 강력한 아티야 추측이 위반됨을 의미한다. 이 추측은 $b_{p}^{(2)}(M) \in \operatorname{fin}^{-1}(\pi_1(M))$ 를 요구한다.
• 마코프 연산자 $G$에서의 스펙트럼 측도는 $\frac{1}{2^q - 1}$에서 이산적 점프를 가지며, 핵 차원 $\dim_G(\ker A) = \frac{1}{3}$는 직접적으로 $L^{2}$-베티 수를 계산한다.
• 3차원 복합체를 $\mathbb{R}^7$에 임베딩하고 두꺼워져 7차원 다양체로 확장함으로써 6차원 반례로 확장되었으며, 이 경우에도 $L^{2}$-베티 수는 $\frac{1}{3}$ 유지됨을 확인하여 저차원에서도 결과가 성립함을 입증한다.
• 이 결과는 강력한 아티야 추측을 만족하는 군의 집합이, 유한부분군 순서에 상한이 없을 경우 HNN 확장에 대해 닫혀 있지 않음을 시사한다.