[논문 리뷰] On a nonlinear eigenvalue problem in Sobolev spaces with variable exponent

Teodora Liliana Dinu|arXiv (Cornell University)|2005. 11. 07.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 24인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 변동하는 지수를 가진 소볼레프 공간에서 $p(x)$-라플라스 연산자를 포함하는 비선형 고유값 문제에 대해 비자명한 비음수 약한 해의 존재성을 확립한다. 변동하는 지수를 가진 레베그 및 소볼레프 공간에서 컴팩턴스 추론을 통해 팰라이-스미스 조건을 검증하고, 마운틴 패assing 정리를 적용함으로써 비선형성의 성장 및 강력 조건이 만족될 경우 $\lambda < \lambda^*$일 때 해가 존재한다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

We consider a class of nonlinear Dirichlet problems involving the $p(x)$--Laplace operator. Our framework is based on the theory of Sobolev spaces with variable exponent and we establish the existence of a weak solution in such a space. The proof relies on the Mountain Pass Theorem.

연구 동기 및 목표

• 변동 지수 소볼레프 공간에서 $p(x)$-라플라스 연산자를 포함하는 비선형 딜리클레 문제에 대한 약한 해의 존재성을 확립한다.
• 비균일 성장 조건을 가진 더 일반적인 $p(x)$-라플라스 프레임워크로 고전적인 $p$-라플라스 결과를 확장한다.
• 해당 에너지 함수에 대해 변동 지수 공간에서 팰라이-스미스 조건을 검증하여 임계점 존재성을 보장한다.
• 비선형성의 적절한 구조적 가정 하에 해가 비음수임을 보여준다.
• 소스 항의 작은 $L^\infty$-편향에 대해 존재 결과의 강건성을 보여준다.

제안 방법

• 변동 지수 $p(x) \in C_\theta(\overline{\Omega})$를 가진 일반화된 레베그-소볼레프 공간 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$에서 문제를 수립한다.
• 에너지 함수 $J(u) = \int_\Omega \frac{1}{p(x)}(|\nabla u|^{p(x)} - \lambda |u|^{p(x)})\,dx - \int_\Omega \frac{1}{q}|u|^q\,dx$를 정의하며, 이는 $C^1$이면서 아래로 유계이다.
• 기하학적 조건을 검증하여 마운틴 패assing 정리를 적용한다: $J(0) = 0$, $\|u\| \to \infty$일 때 $J(u) \to \infty$, 그리고 $J$는 0에서 국소 최솟값을 가진다.
• 모든 $(PS)$ 조건을 만족하는 수열이 유계이며 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$에서 강한 수렴하는 부분수열을 가지는 것으로 보여주어 팰라이-스미스 조건을 증명한다.
• 에고로프 정리와 소측도 집합에서의 균일 수렴을 사용하여 $h(x,u_n) = |u_n|^{q-2}u_n$이 $L^{Np(x)/(Np(x)-N+p(x))}(\Omega)$에서 수렴을 제어한다.
• 변동 지수 공간에서의 연속적 임bedding과 노름 추정을 통해 $h(x,u_n)$이 $W^{-1,p'(x)}(\Omega)$에서 상대적으로 컴팩트함을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 변동 지수 소볼레프 공간 $W_0^{1,p(x)}(\Omega)$에서 문제 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u$에 대해 약한 해가 존재하는가?
• RQ2 마운틴 패assing 정리가 관련 에너지 함수의 비자명한 임계점을 보장하기 위해 $p(x)$, $\lambda$, $q$에 대해 어떤 조건이 필요한가?
• RQ3 소규모 $L^\infty$-유계 소스 항 $a(x)$를 가진 편향된 문제로 존재 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 주어진 구조적 가정 하에 약한 해가 비음수임이 보장되는가?
• RQ5 변동 지수 프레임워크는 임계점 이론에 필요한 컴팩턴스 및 강력 성질에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 해 $\lambda < \lambda^*$일 때 문제 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u$에 대해 비자명한 약한 해 $u \in W_0^{1,p(x)}(\Omega) \setminus \{0\}$가 존재한다. 여기서 $\lambda^*$는 레일리 몫의 하한으로 정의된다.
• 비선형성의 구조적 가정 하에 $u^{-}$를 사용한 테스트와 엄격한 부등식 $\lambda < \lambda^*$를 통해 $u^{-} = 0$ 거의 모든 곳에서 $\Omega$에서 성립함을 보여 해가 비음수임을 증명한다.
• 변동 지수 공간에서 팰라이-스미스 조건은 $N \geq 3$일 때 $p^+ < N$, $p^- < q < Np^+/(N-p^+)$이고, $N=1,2$일 때는 $p^- < q < \infty$인 조건 하에 성립한다.
• 비선형성 $f(x,u)$가 $|f(x,u)| \leq C(|u| + |u|^{q-1})$, $u \to 0$일 때 $f(x,u)/u \to 0$, 그리고 큰 $u$에 대해 어떤 $\mu > 2$에 대해 $\mu F(x,u) \leq u f(x,u)$를 만족할 경우 존재 결과는 그대로 유지된다.
• 소규모 $L^\infty$-편향 $a(x)$에 대해 $\|a\|_{L^\infty} < \delta$일 때, 편향된 문제 $-\text{div}(|\nabla u|^{p(x)-2}\nabla u) = \lambda |u|^{p(x)-2}u + |u|^{q-2}u + a(x)$는 적어도 하나의 약한 해를 가진다.
• $a \geq 0$일 경우 해는 여전히 비음수이며, $u^{-}$를 사용한 테스트와 $a$의 부호 조건을 통해 확인된다.