[논문 리뷰] On a problem in simultaneous Diophantine approximation: Schmidt's conjecture

Dzmitry Badziahin, Andrew Pollington외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 01. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 7인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 동시에 이루어지는 디오판틴 대수적 근사 문제에서 슈미트의 추측을 해결한다. 즉, $i+j=1$을 만족하는 $(i,j)$에 대해, $ℓ\mathbf{Bad}(i,j)$의 유한한 교집합은 풀 하우스도르프 차원 2를 가진다. 증명은 수직선을 따라 교차를 분석하고, 악성 근사 가능한 $x$에 대해 이러한 집합의 $y$-섹션은 차원 1을 가지며, 이는 교집합의 공집합이 아니고, 풀 차원성을 확인한다.

ABSTRACT

For any $i,j \ge 0$ with $i+j =1$, let $\bad(i,j)$ denote the set of points $(x,y) \in \R^2$ for which $ \max \{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j} \} > c/q $ for all $ q \in \N $. Here $c = c(x,y)$ is a positive constant. Our main result implies that any finite intersection of such sets has full dimension. This settles a conjecture of Wolfgang M. Schmidt in the theory of simultaneous Diophantine approximation.

연구 동기 및 목표

• 1980년대에 움프골프 M. 슈미트가 제기한, $ℓ\mathbb{R}^2$ 내 $(i,j)$-악성 근사 가능한 집합의 교집합의 공집합 여부에 관한 추측을 해결하는 것.
• 이러한 집합의 임의의 유한한 교집합이 풀 하우스도르프 차원 2를 가진다는 것을 입증하여, 개별 집합의 풀 차원성에 관한 이전 결과를 확장하는 것.
• 수직선 $L_\theta$를 따라 이러한 집합의 구조를 분석하고, $\theta \in \mathbf{Bad}(i)$일 때, $\mathbf{Bad}(i_t,j_t)$와의 교차가 차원 1을 가진다는 것을 증명하는 것.
• $\mathbf{Bad}(1,0) \cap \mathbf{Bad}(0,1) \cap \mathbf{Bad}(i,j)$의 교집합이 풀 차원 2를 가진다는 것을 보여주어 핵심 특수 케이스를 확인하는 것.
• 동시적 및 이중 형태로 표현된 $(i,j)$-악성 근사 가능한 조건 간의 동치성을 명확히 하는 것.

제안 방법

• 모든 $q \in \mathbb{N}$ 및 어떤 $c(x,y) > 0$에 대해 $\max\{\|qx\|^{1/i}, \|qy\|^{1/j}\} > c(x,y)/q$를 만족하는 점 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$의 집합으로 $\mathbf{Bad}(i,j)$를 정의한다.
• 수직선 $L_\theta = \{\theta\} \times \mathbb{R}$을 따라 교차를 연구하여 2차원 문제를 $\mathbf{Bad}(i)$ 집합의 1차원 분석으로 환원한다.
• Borel-Cantelli 보조정리를 사용하여 $i < 1$일 때 $\mathbf{Bad}(i)$의 여집합이 르베그 측도 0을 가지며, 이는 전체 측도와 전체 차원을 의미함을 보인다.
• 정리 2를 확립한다: $\theta \in \mathbf{Bad}(i)$ 이고 $i = \sup\{i_t\}$, $\liminf_{t \to \infty} \min\{i_t, j_t\} > 0$일 때, 교차 $\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap L_\theta$는 차원 1을 가진다.
• $\mathbf{Bad}(i,j)$의 동시에 및 이중 형태 간의 동치성을, 일반화된 딜레르트의 근사 정리와 선형형식에 관한 핵심 보조정리를 사용하여 증명한다.
• 특정 선형형식을 포함하는 전환 원리(transfer principle)를 활용한 수체계 기하학의 변형을 적용하여 이중 및 동시에 설정 간의 해를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 집합 $\mathbf{Bad}(i_1,j_1)$과 $\mathbf{Bad}(i_2,j_2)$의 교집합이 $i_1 + j_1 = i_2 + j_2 = 1$을 만족할 때, 하우스도르프 차원이 양수인가?
• RQ2 슈미트가 추측한 바와 같이, 모든 이러한 쌍에 대해 $\mathbf{Bad}(i_1,j_1) \cap \mathbf{Bad}(i_2,j_2)$의 공집합 여부를 확립할 수 있는가?
• RQ3 모든 유한한 $d$와 $i_t + j_t = 1$을 만족하는 $(i_t,j_t)$에 대해 $\bigcap_{t=1}^d \mathbf{Bad}(i_t,j_t)$의 하우스도르프 차원은 얼마인가?
• RQ4 $\mathbf{Bad}(i,j)$ 집합이 디오판틴 대수적 근사의 동시에 및 이중 형태로 동치인가?
• RQ5 $\liminf \min\{i_t,j_t\} > 0$ 조건이 무한 교집합의 경우 필수적인가, 아니면 제거할 수 있는가?

주요 결과

• $i_t + j_t = 1$을 만족하는 임의의 유한 개의 집합 $\mathbf{Bad}(i_t,j_t)$의 교집합은 풀 하우스도르프 차원 2를 가지며, 이는 슈미트의 추측을 확인한다.
• $i = \sup\{i_t\}$를 만족하는 모든 $\theta \in \mathbf{Bad}(i)$에 대해, 교차 $\bigcap_t \mathbf{Bad}(i_t,j_t) \cap L_\theta$는 하우스도르프 차원 1을 가지며, 이는 직선에서 풀 차원이다.
• $\mathbf{Bad}(i)$는 모든 $i \in [0,1]$에 대해 차원 1을 가지며, $i < 1$일 땐 전체 르베그 측도를 가진다.
• 동시적 및 이중 형태로 표현된 $\mathbf{Bad}(i,j)$는 동치이며, 한 쪽에서 악성 근사 가능하다면 다른 쪽에서도 악성 근사 가능하다는 의미이다.
• 결과는 리틀우드 추측이 여전히 열려 있음을 시사한다. 슈미트의 추측에 반례가 있었더라면 리틀우드 추측의 반례도 존재했을 것이기 때문이다.
• 증명 기법은 수직선 섹션과 차원 추정에 기반하여, 고차원 디오판틴 대수적 근사에서 교차를 연구하는 데 있어 강력한 프레임워크를 제공한다.