[논문 리뷰] On a random recursion related to absorption times of death Markov chains

Alexander Iksanov, Martin Möhle|ArXiv.org|2007. 10. 31.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 30인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 상태 공간이 $ \mathbb{N} $ 이고 흡수 상태가 1인 죽음 마르코프 체인에서 흡수 시간의 점근적 행동을 분석한다. 이는 $ X_n \overset{d}{=} X_{n-I_n} + 1 $ 형태의 랜덤 재귀를 통해 이루어지며, 여기서 $ I_n $ 은 멱법 꼬리 분포를 갖는다. 랜덤 워크와 서브도미네이터 극한을 이용한 커플링 기법을 통해, $ \xi $ 의 꼬리에 따라 안정 분포 또는 미타그레플레르 분포로의 약한 수렴을 확립한다. 주요 결과는 $ \beta(a,1) $-공융체인과 일반적인 $ \Lambda $-공융체인에 적용된다.

ABSTRACT

Let $X_1,X_2,...$ be a sequence of random variables satisfying the distributional recursion $X_1=0$ and $X_n= X_{n-I_n}+1$ for $n=2,3,...$, where $I_n$ is a random variable with values in $\{1,...,n-1\}$ which is independent of $X_2,...,X_{n-1}$. The random variable $X_n$ can be interpreted as the absorption time of a suitable death Markov chain with state space ${\mathbb N}:=\{1,2,...\}$ and absorbing state 1, conditioned that the chain starts in the initial state $n$. This paper focuses on the asymptotics of $X_n$ as $n$ tends to infinity under the particular but important assumption that the distribution of $I_n$ satisfies ${\mathbb P}\{I_n=k\}=p_k/(p_1+...+p_{n-1})$ for some given probability distribution $p_k={\mathbb P}\{ξ=k\}$, $k\in{\mathbb N}$. Depending on the tail behaviour of the distribution of $ξ$, several scalings for $X_n$ and corresponding limiting distributions come into play, among them stable distributions and distributions of exponential integrals of subordinators. The methods used in this paper are mainly probabilistic. The key tool is a coupling technique which relates the distribution of $X_n$ to a random walk, which explains, for example, the appearance of the Mittag-Leffler distribution in this context. The results are applied to describe the asymptotics of the number of collisions for certain beta-coalescent processes.

연구 동기 및 목표

• 상태 공간이 $ \mathbb{N} $ 이고 흡수 상태가 1인 죽음 마르코프 체인에서 흡수 시간 $ X_n $ 의 점근적 분포를 이해하는 것.
• $ \mathbb{P}(I_n = k) = p_k / (p_1 + \cdots + p_{n-1}) $ 라는 조건 하에 $ X_n $ 의 점근적 행동을 특성화하는 것, 여기서 $ p_k = \mathbb{P}(\xi = k) $.
• $ \xi $ 의 꼬리에 따라 안정 분포 또는 미타그레플레르 분포로 수렴하는지 조건을 규명하고, $ X_n $ 에 대한 약한 수렴 결과를 확립하는 것.
• $ \beta(a,1) $-공융체인 과정에서의 충돌 수에 결과를 적용하여, 특히 $ 0 < a < 2 $ 인 경우에 대해 충돌 수의 점근적 행동을 기술하는 것.

제안 방법

• 랜덤 워크와의 커플링 기법을 사용하여 $ X_n $ 의 분포를 랜덤 워크와 연결함으로써, 확률과정 이론의 극한정리 적용 가능성을 확보한다.
• 상태 $ X_2, \ldots, X_{n-1} $ 와 독립인 $ I_n $ 을 갖는 랜덤 재귀 $ X_n \overset{d}{=} X_{n-I_n} + 1 $ 을 사용하며, $ \mathbb{P}(I_n = k) \propto p_k $ 라는 조건을 적용한다.
• 무한 가역성 및 서브도미네이터 이론 도구를 활용하여, 특히 서브도미네이터의 지수적 적분을 통해 극한 분포를 도출한다.
• 특성 함수를 이용해 $ \alpha $-안정 분포의 약한 극한을 특성화하며, $ \alpha \in [1,2] $ 에 대해 명시적인 형태를 제공한다.
• $ \xi $ 에 대한 다양한 모멘트 조건 하에서 약한 대수법칙 및 중심극한형 정리 유형의 결과를 확립한다.
• $ \Lambda $-공융체인 과정에 결과를 적용하기 위해, $ X_n $ 의 재귀적 구조와 충돌 시간 분포를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 흡수 시간 $ X_n $ 가 죽음 마르코프 체인에서 약한 대수법칙을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 정규화된 흡수 시간 $ (X_n - b_n)/a_n $ 이 비퇴화적인 극한으로 약하게 수렴하는 조건은 무엇이며, 그 극한 분포는 무엇인가?
• RQ3 도약 분포 $ \xi $ 의 꼬리 성질이 $ X_n $ 의 점근적 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 결과를 공융체인 과정, 특히 $ \beta(a,1) $-공융체인에 적용할 수 있는가? 이 경우 충돌 수의 점근적 행동를 기술할 수 있는가?
• RQ5 만약 $ I_n $ 이 $ \xi $ 로 수렴하는 속도가 느리며, 특히 $ \mathbb{E}\xi = \infty $ 인 경우, $ X_n $ 의 점근적 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• $ \sum_{m=1}^n \sum_{k=m}^\infty p_k \sim L(n) $ 이며, $ L $ 이 천천히 변화하는 함수인 경우, $ X_n / \mathbb{E}X_n \overset{P}{\to} 1 $ 이고, $ \mathbb{E}X_n \sim n / L(n) $ 이다.
• $ \mathbb{E}\xi = m < \infty $ 이면, $ \mathbb{E}X_n \sim n/m $ 이고, $ X_n $ 은 $ X_n / (n/m) \overset{P}{\to} 1 $ 를 만족하는 약한 대수법칙을 만족한다.
• $ \sigma^2 = \mathrm{Var}(\xi) < \infty $ 이면, $ (X_n - n/m)/a_n \Rightarrow \mu_2 $ 이며, 이는 $ a_n = (m^{-3} C^{-1} \sigma^2 n)^{1/2} $ 인 정규분포이다.
• $ \sigma^2 = \infty $ 이고 $ \sum_{k=1}^n k^2 p_k \sim n^{2-\alpha} L(n) $ 이면, $ (X_n - n/m)/a_n \Rightarrow \mu\_\alpha $ 이며, 이는 $ \alpha \in [1,2) $ 에 대해 $ \alpha $-안정 분포이다.
• $ \beta(a,1) $-공융체인에서 $ 0 < a < 1 $ 이면, $ (X_n - n(\alpha - 1)) / (n^{1/\alpha}) \Rightarrow \mu_\alpha $ 이며, $ \alpha = 2 - a \in (1,2) $ 이다.
• $ \beta(a,1) $-공융체인에서 $ a \geq 2 $ 이면, 핵심 가정인 $ \mathbb{P}(I_n = k) \propto p_k / \sum_{j=1}^{n-1} p_j $ 가 위반되므로 방법이 실패한다.