[논문 리뷰] On arithmetic general theorems for polarized varieties

Nathan Grieve|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 23인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 술리의 부분공간 정리와 필터링 기법을 사용하여 수체수 및 함수체 위의 극화된 다양체에 대한 산술 일반 정리를 수립한다. Ru-Vojta와 McKinnon-Roth의 결과를 확장하여 예외적 인수에 대한 Roth 정리의 한 형태를 증명하고, 선다이어그램 기반의 불변량을 통해 파포 다각형에 대한 Vojta의 주요 부등식이 성립할 충분조건을 제공한다.

ABSTRACT

We apply Schmidt's Subspace Theorem to establish Arithmetic General Theorems for projective varieties over number and function fields. Our first result extends an analogous result of M. Ru and P. Vojta. One aspect to its proof makes use of a filtration construction which appears in work of Autissier. Further, we consider work of M. Ru and J. T.-Y. Wang, which pertains to an extension of K. F. Roth's theorem for projective varieties in the sense of D. McKinnon and M. Roth. Motivated by these works, we establish our second Arithmetic General Theorem, namely a form of Roth's theorem for exceptional divisors. Finally, we observe that our results give, within the context of Fano varieties, a sufficient condition for validity of the main inequalities predicted by Vojta.

연구 동기 및 목표

• 술리의 부분공간 정리를 사용하여 수체수 및 함수체 위의 극화된 다양체에 대한 산술 일반 정리를 확장한다.
• Autissier와 Corvaja-Zannier의 필터링 기법을 응용하여 Ru-Vojta 및 McKinnon-Roth의 결과를 일반화하고, 예외적 인수에 대한 Roth 유형 정리를 수립한다.
• 점근 체적 상수를 사용하여 파포 다각형에서 Vojta의 주요 추측이 성립할 충분조건을 제공한다.
• Weil 함수와 이산 측도를 통해 디오판틴 기하학, 기하학적 불변량 이론, Okounkov 체 이론의 기법을 통합한다.

제안 방법

• 수체수 및 함수체 위의 프로젝티브 다양체에서 필터링된 선형 계열에 술리의 부분공간 정리를 적용한다.
• Autissier와 Corvaja-Zannier의 영향을 받은 필터링 구조를 사용하여 유리점에서의 소실 순서를 제어한다.
• 이산 측도의 기대값을 활용하여 점근 체적 상수를 표현하고 개념적 명료성을 향상시킨다.
• 선다이어그램 $D_i$에 의해 휘어진 선다이어그램 $L$의 점근적 성장률을 측정하기 위해 체적 불변량 $\beta(L, D_i)$를 도입하며, 고전적 체적 이론을 일반화한다.
• 기저 위치 조정과 선형 동치를 통해 Vojta의 부등식 증명을 반대편 다항식에 대한 경우로 환원한다.
• 부분다양체에 대한 블로잉업을 통해 예외적 인수를 분석하고, 로그 캐논리컬 임계값의 맥락에서 주요 정리를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수체수 및 함수체 위의 극화된 다양체에 대해 산술 일반 정리가 성립하는 조건은 무엇이며, 이는 Ru-Vojta의 고전적 결과를 어떻게 확장하는가?
• RQ2 파포 다각형에서 부분다양체의 블로잉업으로 유도된 예외적 인수에 대해 Roth 정리의 형태를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 체적 불변량 $\beta(-\pi^*K_X, E_i)$는 Vojta의 주요 부등식의 성립 여부를 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 Weil 함수와 Seshadri 상수는 부분다양체 및 그 예외적 인수의 맥락에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 어느 정도까지 선다이어그램의 점근 체적은 적절한 부분다양체 외부의 유리점 분포를 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Ru-Vojta의 결과를 함수체로 확장하고 이산 측도의 기대값을 통해 개념적 개선을 이룬 일반 산술 정리(정리 4.1)를 수립한다.
• 예외적 인수에 대한 Roth 정리의 형태가 증명된다(보조정리 1.2): $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ 이면, 적절한 부분다양체 외부에서 친밀도 함수 $m_S(x,E)$는 $\epsilon h_{-\pi^*K_X}(x)$에 의해 유계가 된다.
• 파포 다각형에서 $-K_X$가 $\mathbb{Q}$-압력이면, 모든 $i$에 대해 $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ 이면 Vojta의 주요 부등식이 성립하며, 이는 $\epsilon$에 의존하는 상수를 포함한다.
• 증명은 선형 동치를 통해 일반 경우를 반대편 다항식에 대한 경우로 환원하며, $M = -K_X$에 대해 부등식이 성립하면, 상수 조정 후 모든 큰 $M$에 대해 성립함을 보여준다.
• 이 방법은 효과적 상한을 도출한다: 임의의 $\epsilon > 0$에 대해, $a_\epsilon, b_\epsilon > 0$ 인 상수들이 존재하여, 적절한 부분다양체 외부에서는 $h_{-K_X}(x) \leq a_\epsilon$ 이거나 $\sum_{v\in S}\lambda_{Y,v}(x) + h_{K_X}(x) \leq \epsilon h_M(x) + b_\epsilon$ 이다.
• 결과적으로, 체적 이론 조건 $\beta(-\pi^*K_X, E_i) \geq 1$ 가 파포 다각형 설정에서 Vojta의 추측 부등식이 성립하는 데 충분함을 확인한다.