[논문 리뷰] On automorphism groups of low complexity subshifts

Sebastián Donoso, Fabien Durand외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 01. 02.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 24인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 저복잡도의 하위시프트의 자기동형군을 조사하며, 비주기적이고 최소적이거나 특정한 전이성 하위시프트에서 비초등복잡도를 가지는 경우, 자기동형군이 유한한 몫을 가지는 ℤ의 가상이 된다는 것을 증명한다. 핵심 기법은 渐近 쌍을 분석하고 단어 복잡도를 고려하는 것으로, 이는 비초등복잡도와 초다항복잡도가 혼합된 하위시프트로 결과를 확장하며, 모든 유한군이 몫군으로서 나타날 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

In this article we study the automorphism group ${\ m Aut}(X,\\sigma)$ of subshifts $(X,\\sigma)$ of low word complexity. In particular, we prove that Aut$(X,\\sigma)$ is virtually $\\mathbb{Z}$ for aperiodic minimal subshifts and certain transitive subshifts with non-superlinear complexity. More precisely, the quotient of this group relative to the one generated by the shift map is a finite group. In addition, we show that any finite group can be obtained in this way. The class considered includes minimal subshifts induced by substitutions, linearly recurrent subshifts and even some subshifts which simultaneously exhibit non-superlinear and superpolynomial complexity along different subsequences. The main technique in this article relies on the study of classical relations among points used in topological dynamics, in particular, asymptotic pairs. Various examples that illustrate the technique developed in this article are provided. In particular, we prove that the group of automorphisms of a $d$-step nilsystem is nilpotent of order $d$ and from there we produce minimal subshifts of arbitrarily large polynomial complexity whose automorphism groups are also virtually $\\mathbb{Z}$.

연구 동기 및 목표

• 단어 복잡도가 느리게 증가할 경우, 저복잡도 하위시프트의 자기동형군의 구조를 이해하는 것.
• 치환 하위시프트와 선형적으로 재귀적인 시스템의 자기동형군에 대한 기존 결과를 더 넓은 범위의 전이성 및 최소 하위시프트로 확장하는 것.
• 다양한 부분수열에서 비초등복잡도와 초다항복잡도가 혼합된 복잡도를 보일 경우에도 자기동형군이 여전히 유한한 몫을 가지는 ℤ인지 여쭤보는 것.
• 이러한 시스템에서 자기동형군의 몫군 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ 가 임의의 유한군으로 나타날 수 있음을 보여주는 것.
• 방문 시간 함수와 자기동형군의 성장률 간의 관계를 탐색하며, 고전적 Gromov 결과를 위상역학으로 일반화하는 것.

제안 방법

• 자기동형군의 구조를 제약하기 위해 하위시프트 내의 渐近 쌍을 분석하는 것.
• 특히 $ \liminf_{n\to\infty} \frac{p_X(n)}{n} < \infty $ 조건 하에서 단어 복잡도 함수 $ p_X(n) $ 를 사용하여 자기동형군의 크기를 제한하는 것.
• 모든 $ n $-길이 단어를 포함하는 단어의 최소 길이로 정의된 방문 시간 맵 $ R_X''(n) $ 을 도입하여 자기동형군의 성장률을 유계화하는 것.
• Shalom과 Tao의 정량적 군 성장 결과를 적용하여, $ R_X''(n) = O(n^d) $ 일 경우 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 의 유한 생성 부분군이 단계 수가 $ d $ 이하인 유한한 노름군이 되도록 하는 것.
• 임의의 큰 다항식 복잡도를 가지지만 여전히 유한한 몫을 가지는 ℤ인 자기동형군을 갖는 최소 하위시프트를 생성하기 위해 $ d $-단계 닐시스템에서 예를 만드는 것.
• 위상역학 이론과 점들 사이의 관계를 이용하여 자기동형군이 하위시프트 위에서 작용하는 방식을 제어하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전이성 또는 최소 하위시프트에서 자기동형군이 유한한 몫을 가지는 ℤ가 되기 위한 단어 복잡도 조건은 무엇인가?
• RQ2 다른 부분수열에서 비초등복잡도와 초다항복잡도가 혼합된 복잡도를 가지는 하위시프트의 자기동형군이 여전히 유한한 몫을 가지는 ℤ일 수 있는가?
• RQ3 임의의 유한군이 어떤 저복잡도 하위시프트에 대해 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ 로 나타날 수 있는가?
• RQ4 방문 시간 함수 $ R_X''(n) $ 이 하위시프트에서 자기동형군의 성장률과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 비초등성 방향 또는 渐近 성분을 이용하여, 자기동형군이 유한한 몫을 가지는 ℤ임을 고차원 하위시프트로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 비주기적 최소 하위시프트와 $ \liminf_{n\to\infty} \frac{p_X(n)}{n} < \infty $ 조건을 만족하는 특정 전이성 하위시프트에 대해, 자기동형군 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 는 유한한 몫을 가지는 ℤ이다.
• 임의의 유한군은 비초등복잡도를 가지는 어떤 최소 하위시프트에 대해 $ \mathrm{Aut}(X,\sigma)/\langle \sigma \rangle $ 로 나타날 수 있다.
• 주요 정리의 조건을 만족하는 하위시프트의 범주는 원시적 치환, 선형적으로 재귀적인 하위시프트, 그리고 서로 다른 부분수열에서 복잡도 성장이 혼합된 시스템을 포함한다.
• 하위시프트에서 $ R_X''(n) = O(n^d) $ 라면, $ \mathrm{Aut}(X,\sigma) $ 의 모든 유한 생성 부분군은 단계 수가 $ d $ 이하인 유한한 노름군이다.
• $ d $-단계 닐시스템의 자기동형군은 단계 수 $ d $ 의 노름군이며, 이러한 시스템에서 임의로 큰 다항식 복잡도를 가지지만 여전히 유한한 몫을 가지는 ℤ인 자기동형군을 갖는 최소 하위시프트를 구성할 수 있다.
• 방문 시간 함수 $ R_X''(n) $ 는 $ R_X''(n) \geq p_X(n) + n - 1 $ 를 만족하며, 슈타르미안 하위시프트의 경우 $ R_X''(n) \leq 2n $ 이고, 선형적으로 재귀적인 하위시프트의 경우 $ R_X''(n) = O(n) $ 이다.