[논문 리뷰] On BIBO stability of systems with irrational transfer function

Ansgar Trächtler|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 03.

Control Systems and Identification참고 문헌 9인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 무리 전달 함수를 가진 선형 정수계에서 BIBO 안정성에 대한 복잡한 분석 기반 특성화를 제시한다. 주로 닫힌 오른쪽 반평면에서 유한한 수의 극과 분⽀점이 있는 메로모르픽 함수에 초점을 맞추며, 충격 응답의 점근 전개를 이용해 필요 및 충분 조건을 도출하고, 카우치의 원리에 기반한 뉴퀴스트 기준을 일반화한다. 유리수와 무리수 분⽀점 순서의 구분이 필요하지 않다.

ABSTRACT

We consider the input/output-stability of linear time-invariant single-input/single-output systems in terms of singularities of the transfer function F(s) in Laplace domain. The approach is based on complex analysis. A fairly general class of transfer functions F(s) is considered which can roughly be characterized by two properties: (1) F(s) is meromorphic with a finite number of poles in the open right half plane and (2), on the imaginary axes, F(s) may have at most a finite number of poles and branch points. For this class of systems, a complete and thorough characterization of BIBO stability in terms of the singularities in the closed right half-plane is developed where no necessity arises to differentiate between commensurate and incommensurate orders of branch points as often done in literature. A necessary and sufficient condition for BIBO stability is derived which mainly relies on the asymptotic expansion of the impulse response f(t). The second main result is the generalization of the well-known Nyquist citerion for testing closed-loop stability in terms of the open-loop frequency response locus to the class of systems under consideration which is gained by applying Cauchy's argument principle.

연구 동기 및 목표

• 무리 전달 함수를 가진 선형 정수계에 대한 BIBO 안정성의 포괄적인 특성화를 개발하기 위해.
• 기존 안정성 기준이 유리수와 무리수 분⽀점 순서를 구분해야 하는 한계를 해결하기 위해.
• 충격 응답의 점근적 행동에 기반한 BIBO 안정성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하기 위해.
• 카우치의 원리에 기반해 고전적 뉴퀴스트 기준을 무리 전달 함수를 가진 시스템으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 분석은 복소해석학에 기반하며, 라플라스 도메인의 고립된 특이점인 극과 분⽀점에 중점을 둔다.
• 논문은 열린 오른쪽 반평면에서 유한한 수의 극을 가지며, 허수축상에서 최대 유한한 수의 극과 분⽀점을 가진 전달 함수를 고려한다.
• 역 라플라스 변환, 즉 충격 응답의 점근 전개에 기반한 필요 및 충분 조건을 통해 BIBO 안정성 조건을 유도한다.
• 개념적 뉴퀴스트 기준은 개방 루프 전달 함수에 대해 카우치의 원리를 적용하여 도출되며, 오른쪽 반평면을 둘러싼 경로를 따라 위상 변화를 분석한다.
• 논문은 분⽀점의 유형(극, 정규, 고차)을 구분하고, 각각이 반원형 경로를 따라 위상 변화에 기여하는 바를 계산한다.
• 안정성 분석은 허수축상의 극과 분⽀점 모두를 고려하며, 분⽀점의 주요 지수 κ₀ < 0 또는 κ₀ = 0 인 경우를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무리 전달 함수를 포함한 분⽀점이 있는 시스템에 대한 BIBO 안정성에 대한 필요 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ2 오른쪽 반평면에 극과 분⽀점이 있는 시스템에 대해 고전적 뉴퀴스트 기준은 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ3 안정성 분석에서 유리수와 무리수 분⽀점 순서의 구분을 피할 수 있는가?
• RQ4 다양한 유형의 분⽀점(예: 극, 정규, 고차)이 뉴퀴스트 유사 안정성 테스트에서 위상 변화에 기여하는 바는 무엇인가?
• RQ5 무리 전달 함수를 가진 시스템에서 충격 응답의 점근적 행동은 BIBO 안정성과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 충격 응답의 점근 전개에 기반한 필요 및 충분 조건이 유도되었으며, 이는 |g(t)|의 절대 적분 가능성 보장한다.
• 논문은 BIBO 안정성이 충격 응답이 절대 적분 가능할 때에만 성립하며, 이는 ∫₀^∞ |g(t)| dt < ∞의 수렴과 동치임을 규명한다.
• 일반화된 뉴퀴스트 기준은 오른쪽 반평면을 둘러싼 경로를 따라 F₀(s)의 위상 변화를 계산함으로써 검증되었으며, 극과 분⽀점의 기여는 명시적으로 계산되었다.
• s = a에 위치한 차수 k의 극에 대해, 작은 반원을 따라 위상 변화는 −j k π이다. 반면 1 + F₀(s)의 영점(즉, 폐루프의 극)에 대해서는 +j k π이다.
• 주요 지수 κ₀ < 0인 극 분⽀점의 경우 위상 변화는 j κ₀ π이다. κ₀ = 0이고 c₀ ≠ −1인 정규 분⽀점의 경우, ϱ → 0일 때 기여는 사라진다.
• c₀ = −1이고 κ₀ = 0일 때 위상 변화는 j κ₁ π이며, κ₀ > 0일 경우 반경 ϱ → 0일 때 기여는 0으로 수렴한다.