[논문 리뷰] On bijections between 231-avoiding permutations and Dyck paths

Christian Stump|ArXiv.org|2008. 03. 26.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 231을 피하는 순열과 다이크 경로 사이에 새로운 이항사상(bijection)을 구축하여, 순열의 major index와 inverse major index의 합을 해당하는 다이크 경로의 major index로 매핑한다. 주요 기여는 $q,t$-카탈란 수와 관련된 다항식 $\mathcal{A}_n(q,t)$에 대한 대칭성에 대한 이항사상 증명이며, 기존의 이항사상들과의 연결을 통해 패턴을 피하는 순열과 다이크 경로의 조합론에 대한 새로운 통찰을 제공한다.

ABSTRACT

We construct a bijection between 231-avoiding permutations and Dyck paths that sends the sum of the major index and the inverse major index of a 231-avoiding permutation to the major index of the corresponding Dyck path. Furthermore, we relate this bijection to others and exhibit a bistatistic on 231-avoiding permutations which is related to the q,t-Catalan numbers.

연구 동기 및 목표

• 231을 피하는 순열과 다이크 경로 사이에 특정 통계량을 유지하는 새로운 명시적 이항사상을 구축하는 것.
• 231을 피하는 순열에서 major index와 inverse major index의 합을 다이크 경로의 major index로 매핑하는 것.
• 다항식 $\mathcal{A}_n(q,t)$가 $q$와 $t$에 대해 대칭임을 이항사상 증명을 통해 보여주는 것.
• 제안된 이항사상이 기존의 패턴을 피하는 순열과 다이크 경로 사이의 이항사상들과 어떻게 연결되는지 밝혀내는 것.
• 231을 피하는 순열에서의 이중통계량(bistatistic)과 $q,t$-카탈란 수 $\operatorname{Cat}_n(q,t)$ 사이의 잠재적 연결 고리 탐색

제안 방법

• 이항사상 $\Phi$는 각 231을 피하는 순열 $\sigma$를 다이크 경로 $D$로 매핑하며, $\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(D)$를 만족한다.
• 구성은 Robinson-Schensted 대응과 최대 두 행을 가진 표준 양태표(standard Young tableaux)의 성질을 사용한다.
• 역 major index $\operatorname{imaj}(\sigma)$는 $\operatorname{maj}(\hat{\sigma}})$로 정의되며, 여기서 $\hat{\sigma}$는 순열 $\sigma$의 역순열이다.
• $\mathcal{S}_n(321)$ 위에 정의된 $\mathbf{j}$는 표준 양태표의 프로모션을 이용한 치환(involution)으로, 내림차순 집합을 유지하고, $j \mapsto n-j$를 통해 역내림차순 집합을 변환한다.
• 이항사상 $\Phi$는 이전의 구성과 연결된다: $\beta = \Psi \circ \Phi \circ \mathbf{i}$, 여기서 $\beta$는 $\mathcal{S}_n(132)$에서 $\mathcal{D}_n$으로 가는 Bandlow-Killpatrick 이항사상이며, $\mathbf{i}$는 순열을 그 역순열로 보내는 치환이다.
• area 통계량과의 연결은 $\operatorname{inv}(\sigma) = \operatorname{area}(\Psi \circ \Phi(\sigma))$를 통해 확립된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 231을 피하는 순열과 다이크 경로 사이에, $\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma)$를 다이크 경로의 major index로 매핑하는 이항사상을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 이중통계량을 통해 정의된 다항식 $\mathcal{A}_n(q,t)$는 $q$와 $t$에 대해 대칭적인가?
• RQ3 제안된 이항사상은 패턴을 피하는 순열과 다이크 경로 사이의 Bandlow-Killpatrick 및 Krattenthaler 이항사상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 다이크 경로 위에서 major index와 그 보완(complement)을 사용하여 $q,t$-카탈란 수 $\operatorname{Cat}_n(q,t)$를 생성함수로 표현할 수 있는가?
• RQ5 다항식 $\operatorname{Cat}_n(q,t)$의 대칭성을 직접 통계량을 유지하는 이항사상으로 증명하는 조합적 치환(involution)이 존재하는가?

주요 결과

• 이항사상 $\Phi$는 각 231을 피하는 순열 $\sigma$를 다이크 경로 $D$로 매핑하며, $\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma) = \operatorname{maj}(D)$를 만족함으로써 정확한 통계량 유지 대응을 확립한다.
• 다항식 $\mathcal{A}_n(q,t)$는 $\mathcal{S}_n(231)$ 위에서 $\operatorname{maj}(\sigma) + \operatorname{imaj}(\sigma)$의 생성함수로 정의되며, 이항사상 증명을 통해 $q$와 $t$에 대해 대칭임을 보였다.
• 다음이 성립함이 증명되었다: $\mathcal{A}_n(q,q^{-1}) = \operatorname{Cat}_n(q,q^{-1})$, 이는 신규 다항식이 MacMahon의 $q$-카탈란 수와 연결됨을 보여준다.
• 이항사상 $\Phi$는 $\beta = \Psi \circ \Phi \circ \mathbf{i}$라는 항등식을 통해 Bandlow-Killpatrick 및 Krattenthaler 이항사상과 연결되며, 여기서 $\mathbf{i}$는 역치환을 나타낸다.
• 모든 $n=4$에 대해 $\mathcal{A}_4(q,t) - \operatorname{Cat}_4(q,t) = q^2t^2(qt - 1)$임을 보였으며, 이는 $n \geq 4$일 때 $\mathcal{A}_n(q,t) \neq \operatorname{Cat}_n(q,t)$임을 보여주지만, $t = q^{-1}$일 때는 두 다항식이 일치함을 시사한다.
• 다음과 같은 $\mathcal{S}_n(321)$ 위의 치환을 구성하였다: 내림차순 집합을 유지하고, 역내림차순 집합 $\operatorname{iDes}(\sigma)$를 $\{n-j : j \in \operatorname{iDes}(\sigma)\}$로 매핑함으로써 $\mathcal{A}_n(q,t)$의 대칭성에 기여한다.