[논문 리뷰] On Cannon-Thurston maps for relatively hyperbolic groups

Yoshifumi Matsuda, Shin-ichi Oguni|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 26.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 임의의 비기본적 상대적 히퍼볼릭 군 $G$와 그에 대한 공轭 불변인 진부분군의 집합 $χ$에 대해, $G$를 포함하는 히퍼볼릭 군 $G'$이 존재하여, $\partial(G,\mathfrak{H})$에서 $\partial(G',\mathfrak{H}')$로의 Cannon-Thurston 사상이 존재하지 않음을 보여준다. 이 구성은 히퍼볼릭적으로 통합된 부분군을 사용하며, Baker와 Riley의 순위 3인 자유군에 대한 결과를 활용하여, 자유군을 초월한 비존재 현상의 일반화를 이룬다.

ABSTRACT

Baker and Riley proved that a free group of rank 3 can be contained in a hyperbolic group as a subgroup for which the Cannon-Thurston map is not well-defined. By using their result, we show that the phenomenon occurs for not only a free group of rank 3 but also every non-elementary hyperbolic group. In fact it is shown that a similar phenomenon occurs for every non-elementary relatively hyperbolic group.

연구 동기 및 목표

• 순위 3인 자유군에 대해 Baker와 Riley가 확립한 결과를 모든 비기본적 상대적 히퍼볼릭 군으로 일반화하기 위해.
• Cannon-Thurston 사상의 비존재성이 자유군에 국한되지 않고, 모든 비기본적 히퍼볼릭 및 상대적 히퍼볼릭 군으로까지 확장됨을 보여주기 위해.
• G가 상대적 히퍼볼릭이고 $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{H}'$임에도 불구하고, Cannon-Thurston 사상이 존재하지 않는 히퍼볼릭 군 $G'$이 존재하는 구체적인 예를 구성하기 위해.
• Cannon-Thurston 사상의 실패가 $G$가 $G'$에 대해 상대적 준수점성(Quasiconvexity)이 없기 때문에 발생함을 규명하기 위해.

제안 방법

• 순위 3인 자유군이 Cannon-Thurston 사상이 잘 정의되지 않는 히퍼볼릭 확장군을 갖는다는 Baker와 Riley의 결과를 사용한다.
• G를 부분군으로 포함하는 히퍼볼릭 군 $G'$을 구성하며, $\mathfrak{H}'$는 $\mathfrak{H}$를 확장한 공轭 불변 부분군의 집합이 되도록 하되, $G'$이 $\mathfrak{H}'$에 대해 상대적으로 히퍼볼릭이 되도록 한다.
• 히퍼볼릭적으로 통합된 부분군 이론과 기하학적으로 유한한 수렴 작용 이론을 적용하여 극한 집합과 경계 사상의 성질을 분석한다.
• 대조법을 통해 $G$--equivariant 연속 경계 사상이 존재한다고 가정하면, 히퍼볼릭 부분군의 Gromov 경계 사이의 $G$-equivariant 사상이 존재하지 않음과 모순됨을 증명한다.
• 상대적 구조에 대해 강력한 준수점성을 갖는 부분군은 Gromov 경계로의 경계 위상동형을 갖지만, 구성된 경우 이 성질이 성립하지 않음을 이용한다.
• 만약 $G$가 $\mathfrak{H}'$에 대해 준수점성이라면 경계 사상이 존재할 것이며, 이는 구성과 모순됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 순위 3인 자유군에 대해 증명된 Cannon-Thurston 사상의 비존재가 모든 비기본적 상대적 히퍼볼릭 군으로까지 확장 가능한가?
• RQ2 모든 비기본적 상대적 히퍼볼릭 군 $G$에 대해, Cannon-Thurston 사상이 존재하지 않는 히퍼볼릭 확장군 $G'$을 구성할 수 있는가?
• RQ3 $\mathfrak{H} \subset \mathfrak{H}'$임에도 불구하고, $G$-equivariant 연속 경계 사상이 존재하지 않는 $G$와 $G'$의 조건은 무엇인가?
• RQ4 Cannon-Thurston 사상의 실패는 $G$가 $G'$에 대해 상대적 준수점성이 없기 때문인가?
• RQ5 기하학적으로 무한한 수렴 작용을 갖는 공간은, 기하학적으로 유한한 작용을 갖는 공간들의 역극한으로 나타날 수 있는가?

주요 결과

• 모든 비기본적 상대적 히퍼볼릭 군 $G$에 대해, $G$가 $G'$에서 $\mathfrak{H}'$에 대해 준수점성이 없는 히퍼볼릭 군 $G'$이 존재한다.
• 모든 $H \in \mathfrak{H}$가 어떤 $H' \in \mathfrak{H}'$에 공轭임에도 불구하고, $\partial(G,\mathfrak{H})$에서 $\partial(G',\mathfrak{H}')$로의 Cannon-Thurston 사상은 존재하지 않는다.
• 이 구성은 Baker와 Riley의 결과를 순위 3인 자유군에서 모든 비기본적 상대적 히퍼볼릭 군으로 일반화한다.
• $\Lambda(G, \partial(G',\mathfrak{H}'))$는 $G$-equivariant 연속 사상에 의한 $\partial(G,\mathfrak{H})$의 상이 될 수 없으며, 이는 경계 사상의 비존재를 의미한다.
• 공간 $Y = \Lambda(G, \partial(G',\mathfrak{H}'))$는 기하학적으로 유한한 $G$의 수렴 작용을 갖는 컴act 메트라이저블 공간들의 역극한으로 표현될 수 없으며, 이는 경계 사상의 실패 때문이다.
• $X = \partial(G,\mathfrak{H})$와 $Y = \Lambda(G, \partial(G',\mathfrak{H}'))$의 공통적인 붕괴(Blow-up)는 존재하지 않으며, 이는 Cannon-Thurston 사상의 존재를 강제하기 때문이다.