[논문 리뷰] On certain integral functionals of squared Bessel processes

Umut Çeti̇n|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 21.

Stochastic processes and financial applications인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 제곱 베ssel 과정의 적분 함수 및 그들의 첫 번째 도달 시간의 공동 라플라스 변환을 유도하며, 정확한 소구역 확률 점근적 성질과 창-유형 반복 로그 법칙을 가능하게 한다. 또한 시간 역전된 적분 함수의 무한소 생성자를 비균일한 순수 점프 마코프 과정으로 특성화하며, 이는 고급 금리 파생상품 가격 설정과 근접한 돈 내에서의 파트 옵션 가치 점근적 성질에 응용된다.

ABSTRACT

Let $X$ be a squared Bessel process. Following a Feynman-Kac approach, the Laplace transforms of joint laws of $(U, \int_0^{R_y}X_s^p\,ds)$ are studied where $R_y$ is the first hitting time of $y$ by $X$ and $U$ is a random variable measurable with respect to the history of $X$ until $R_y$. A subset of these results are then used to solve the associated small ball problems for $\int_0^{R_y}X_s^p\,ds$ and determine a Chung's law of iterated logarithm. $(\int_0^{R_y}X_s^p\,ds)$ is also considered as a purely discontinuous increasing Markov process and its infinitesimal generator is found. The findings are then used to price a class of exotic derivatives on interest rates and determine the asymptotics for the prices of some put options that are only slightly in-the-money.

연구 동기 및 목표

• 제곱 베셀 과정 X에 대해 (U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds)의 공동 라플라스 변환을 유도하는 것. 여기서 U는 F_{R_y}-측정 가능하며 R_y는 y에 대한 첫 번째 도달 시간이다.
• ε → 0 일 때 ∫₀^{R_y} X_s^p ds의 소구역 확률을 결정하여 창-유형 반복 로그 법칙을 이끌어내는 것.
• 시간 역전된 과정 Z^δ_x = ∫_{L_{1-x}}^{L_1} X_s^p ds의 무한소 생성자를 특성화하여, 이가 비균일한 순수 점프 마코프 과정임을 보이는 것.
• 결과를 적용하여 고급 금리 파생상품의 점근적 가격, 특히 약간 내돈 옵션에 대해 유도하는 것.
• δ = 4 인 경우 시간 역전된 적분 함수와 선형 브라운 운동의 도달 시간 사이의 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 제곱 베셀 과정의 공동 라플라스 변환을 유도하기 위해 수정 베셀 함수를 포함하는 두 번째 차수 상미분방정식의 해를 이용한 마르팅게일 방법과 페인만-카크 유형의 추론을 사용한다.
• 베셀 과정의 척도 함수 이론과 첫 번째 도달 시간 이론을 적용하여, R_y까지의 최대 또는 최소값을 조건으로 한 적분 함수의 조건부 분포를 특성화한다.
• 수정 베셀 함수의 점근적 분석을 통해 ε → 0 일 때 ∫₀^{R_y} X_s^p ds의 소구역 확률 행동을 도출한다.
• 과정 (Σ^δ_{p,0,y})_y≥0의 시간 역전을 적용하여 Z^δ_x를 정의하고, 라플라스 변환과 척도 함수 기법을 사용하여 그의 무한소 생성자를 계산한다.
• joint 분포 (R_y, ∫₀^{R_y} X_s^p ds)의 라플라스 변환을 이용하여 역변환을 수행하고 적분 표현을 통해 옵션 가격을 계산한다.
• 결과를 적용하여 파트 옵션 가격의 점근적 표현을 도출하며, 이를 적분 함수의 누적분포함수와 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제곱 베셀 과정 X에 대해, U가 R_y까지의 필터레이션에 적응된 경우 (U, ∫₀^{R_y} X_s^p ds)의 공동 라플라스 변환은 무엇인가?
• RQ2 ε → 0 일 때 ∫₀^{R_y} X_s^p ds의 소구역 확률 행동은 무엇이며, 이는 어떤 창-유형 반복 로그 법칙을 암시하는가?
• RQ3 시간 역전된 과정 Z^δ_x = ∫_{L_{1-x}}^{L_1} X_s^p ds의 무한소 생성자는 무엇이며, 브라운 운동의 도달 시간과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 유도된 라플라스 변환은 고급 금리 파생상품의 점근적 가격을 어떻게 계산하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 기초 자산 가격이 매우 1에 가까울 때(즉, 약간 내돈 상태일 때), 파트 옵션 가격의 점근적 행동은 무엇인가?

주요 결과

• (R_y, ∫₀^{R_y} X_s^p ds)의 공동 분포는 라플라스 변환을 통해 특성화되며, 수정 베셀 함수 K_ν/(p+1) 및 I_ν/(p+1)를 포함한 명시적 표현을 가진다.
• |ν|/(p+1) = 1/2 인 경우, X의 최대(또는 최소)값을 조건으로 한 ∫₀^{R_y} X_s^p ds의 조건부 분포는 3차원 베셀 과정의 첫 번째 도달 시간과 연결된다.
• ∫₀^{R_y} X_s^p ds의 소구역 확률은 ε → 0 일 때 −log P(∫₀^{R_y} X_s^p ds < ε) ∼ C ε^{−2(p+1)} 를 만족하며, 여기서 C는 z와 y에 따라 달라진다.
• 과정 (Σ^δ_{p,0,y})_y≥0에 대해 y → ∞ 일 때 창-유형 반복 로그 법칙이 확립되며, lim sup 행동은 y^{1/(p+1)} (log y)^{1/2} 비례한다.
• 시간 역전된 과정 Z^δ_x의 무한소 생성자 ˜A_x는 비균일한 순수 점프 생성자이며, (2πb^3)^{-1/2}를 포함하는 레비 측도와의 콘볼루션으로 명시적으로 주어진다.
• δ = 4 (즉, ν = 1, p = 1)인 경우, 과정 Z^4_x는 서브도리이며, 표준 브라운 운동이 x/2에 도달하는 첫 번째 도달 시간 T_{x/2}와 동일한 분포를 가진다.