[논문 리뷰] On certain sums of number theory

Olivier Bordellès|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 12.

Analytic Number Theory Research인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 von Mangoldt 함수 $\Lambda$, 약수 함수 $\tau_r$, 그리고 관련 곱셈적 함수와 같은 산술 함수 $f$에 대해 $\sum_{n \leq x} f(\lfloor x/n \rfloor)$ 형태의 합의 오차 항 추정을 향상시킨다. 지수 쌍과 고급 지수 합 기법을 사용하여 $\Lambda$, $\tau$, $\tau_r$ ($r \geq 3$)에 대해 $1/2$-장벽을 돌파하며, 오차 항을 $O(x^{97/203 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4778 + \varepsilon})$ 수준으로 낮추어 이전의 추정보다 크게 향상시킨다.

ABSTRACT

We study sums of the shape $\sum_{n \leqslant x} f \left( \lfloor x/n floor ight)$ where $f$ is either the von Mangoldt function or the Dirichlet-Piltz divisor functions. We improve previous estimates when $f = \Lambda$ and $f = au$, and provide new results when $f = au_r$ with $r \geqslant 3$, breaking the $\frac{1}{2}$-barrier in each case. The functions $f=\mu^2$, $f=2^\omega$ and $f=\omega$ are also investigated.

연구 동기 및 목표

• 다양한 산술 함수 $f$에 대해 $\sum_{n \leq x} f(\lfloor x/n \rfloor)$ 합의 오차 항을 정밀화하는 것.
• $f = \Lambda$, $\tau_r$, $\mu^2$, $2^\omega$, $\omega$에 대해 오차 항의 지수에서 $1/2$-장벽을 돌파하는 것.
• 현대 지수 합 기법과 지수 쌍 이론을 활용하여 기존 결과를 확장하고 향상시키는 것.
• 라마누잔 가설 및 관련 조건 하에서 이러한 합에 대해 명시적이고 정량적으로 더 날카로운 오차 추정을 제공하는 것.

제안 방법

• 디리클 하이퍼볼라 방법과 베일러의 삼각함수 근사법을 사용하여, 물결 함수 $\psi(x)$를 포함하는 지수 합으로 합을 표현한다.
• 지수 쌍 이론을 적용하여 지수 합 $\sum_{D < d \leq 2D} f(d) e(hx/d)$를 유계화하며, 주요 유계는 지수 쌍 $(k, \ell)$에서 유도된다.
• 보아의 항등식과 $\Lambda$-함수 분해를 사용하여 von Mangoldt 함수와 그 변종을 다룬다.
• $\omega(n) = \sum_{p \mid n} 1$ 및 $2^\omega(n) = \sum_{d \mid\!\mid n} 1$의 항등식을 활용하여 $\omega$와 $2^\omega$에 대한 합을 이차형식으로 환원한다.
• 스리니바산의 최적화 보조정리를 적용하여 최적의 매개변수(예: $N$ 및 $D$)를 선택함으로써 최종 유계에서 경쟁하는 오차 항을 균형 잡는다.
• 라마누잔 가설 $f(n) \ll n^\varepsilon$을 활용하여 주항 및 오차 항의 수렴성과 성장 억제를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 합 $\sum_{n \leq x} \Lambda(\lfloor x/n \rfloor)$의 오차 항이 $O(x^{1/2 + \varepsilon})$ 이하로 개선될 수 있는가?
• RQ2 $r \geq 3$ 일 때, 합 $\sum_{n \leq x} \tau_r(\lfloor x/n \rfloor)$의 오차 항에서 가능한 최적의 지수는 무엇인가?
• RQ3 $\sum_{n \leq x} \mu^2(\lfloor x/n \rfloor)$ 및 $\sum_{n \leq x} 2^{\omega(\lfloor x/n \rfloor)}$의 오차 항은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 지수 쌍 기법을 사용하여 $\sum_{n \leq x} \omega(\lfloor x/n \rfloor)$의 유계를 이전 결과를 초월해 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 $f$가 $f(n) \ll n^\varepsilon$를 만족하는 곱셈적 함수일 때 오차 항의 최적 지수는 무엇인가?

주요 결과

• $f = \Lambda$일 때 오차 항은 $O(x^{97/203 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4778 + \varepsilon})$이며, $1/2$-장벽을 돌파한다.
• $f = \tau$일 때 오차 항은 $O(x^{19/40 + \varepsilon}) = O(x^{0.475 + \varepsilon})$이며, 이는 이전의 $O(x^{11/23 + \varepsilon})$보다 향상된 것이다.
• $f = \tau_3$일 때 오차 항은 $O(x^{283/574 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.493 + \varepsilon})$이며, $1/2$에 가까워지고 있다.
• $f = \mu^2$일 때 오차 항은 $O(x^{1919/4268 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4496 + \varepsilon})$이며, 이 함수에 대해 처음으로 이러한 추정이 제시된다.
• $f = 2^\omega$일 때 오차 항은 $O(x^{97/202 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4802 + \varepsilon})$이며, 이는 이전 결과를 향상시킨다.
• $f = \omega$일 때 오차 항은 $O(x^{455/914 + \varepsilon}) \approx O(x^{0.4978 + \varepsilon})$이며, 개선된 지수 쌍을 사용하여 $O(x^{0.4958 + \varepsilon})$로 추가로 향상된다.