[논문 리뷰] On certain sums over ordinates of zeta zeros

Aleksandar Ivić|ArXiv.org|2003. 12. 16.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만 제타 함수의 비자명한 영점들의 양의 순서를 $ \gamma $ 라 할 때, Dirichlet 급수 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ 를 연구하며, $ \sigma > -1 $ 에서의 해석적 계속성을 확립하고, 임계대($ 0 \leq \sigma \leq 1 $) 에서 $ G(s) $ 의 날카운 bounds 를 도출한다. 주요 기여는 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 에서의 조건부가 아닌 bound $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $ 이며, 이는 이전의 추정치를 향상시키고, $ S(T) $ 와 $ \zeta(1/2 + it) $ 를 포함하는 새로운 평균 제곱 및 적분 추정치를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Let $γ$ denote imaginary parts of complex zeros of the Riemann zeta-function $ζ(s)$. Certain sums over the $γ$'s are evaluated, by using the function $G(s) = \sum_{γ>0}γ^{-s}$ and other techniques. Some integrals involving the function $S(T) = (1/π)\argζ(1/2+iT)$ are also considered.

연구 동기 및 목표

• 비자명한 제타 함수 영점의 순서에 대한 조건부가 아닌 연구를 위해 Dirichlet 급수 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ 를 다루며, 리만 가설을 가정하지 않는다.
• 이전 결과가 리만 가설을 필요로 했던 것과 달리, $ G(s) $ 의 해석적 계속성을 반평면 $ \sigma > -1 $ 에까지 확립한다.
• 임계대 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 에서 $ G(s) $ 의 날카운 조건부가 아닌 추정치를 도출하여 이전 추정치를 향상시킨다.
• 이러한 $ G(s) $ 의 추정치를 응용하여, $ S(T) $, $ \zeta(1/2 + it) $ 의 오름차수 및 $ \zeta(1/2 + it) $ 자체를 포함하는 새로운 평균 제곱 및 적분 추정치를 도출한다.

제안 방법

• $ \Re(s) > 1 $ 에서 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ 를 정의하고, 제타 함수 영점의 수를 세는 함수 $ N(T) $ 의 명시적 공식을 사용하여, $ G(s) $ 를 Stieltjes 적분으로 표현한다.
• $ \vartheta(T) $, $ S(T) $, $ f(T) $ 를 포함하는 적분과 점근 전개를 적용하여, $ \sigma > 0 $ 에서 $ G(s) $ 의 적분 표현을 유도한다.
• $ \int_0^T S(t) dt \ll \log T $ 와 평균 제곱 추정치 $ \int_1^T S(t)^2 dt \ll \log^2 T $ 를 사용하여, 적분 표현에서 오차 항을 통제한다.
• 부분 합성과 코시-슈바르츠 부등식을 적용하여, 급수의 尾 $ \sum_{\gamma > X} \gamma^{-s} $ 를 추정하고, $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 에서 날카운 추정치 $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $ 를 이끌어낸다.
• 이러한 $ G(s) $ 의 추정치를 바탕으로, $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt $ 의 새로운 조건부가 아닌 평균 제곱 추정치를 유도하고, 이와 $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ 에 대해 $ dS(t) $ 를 통한 적분과 연결한다.
• $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ 에 대해 $ dS(t) $, $ S(t) $, $ S^2(t) $ 를 통한 적분을 제타 함수 영점에 대한 합과 연결하여, $ \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ 형태의 새로운 조건부가 아닌 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계대 $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 에서 $ G(s) = \sum_{\gamma > 0} \gamma^{-s} $ 의 최고 조건부가 아닌 추정치는 무엇인가?
• RQ2 리만 가설을 가정하지 않고도 $ G(s) $ 의 해석적 계속성을 $ \sigma > -1 $ 에까지 확립할 수 있는가?
• RQ3 $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt $ 의 최고 조건부가 아닌 평균 제곱 추정치는 무엇인가?
• RQ4 $ |\zeta(1/2 + it)|^2 $ 와 $ S(t) $ 를 포함하는 적분은 제타 함수 영점에 대한 합과 어떻게 관련되며, 그 최고 조건부가 아닌 추정치는 무엇인가?
• RQ5 Bombieri-Hejhal 보조정리는 $ S(t) $ 와 $ \zeta(1/2 + it) $ 를 포함하는 적분의 추정치를 향상시킬 수 있는가?

주요 결과

• $ G(s) $ 는 반평면 $ \sigma > -1 $ 에서 해석적 계속성을 가지며, $ S(x) $ 와 $ f(x) $ 를 포함하는 명시적 적분 표현을 가지며, 이는 조건부가 아닌 것으로서 성립한다.
• $ 0 \leq \sigma \leq 1 $ 에서의 조건부가 아닌 추정치 $ G(s) \ll |t|^{1-\sigma} \log|t| + \log^2|t| $ 가 확립되었으며, 이는 이전 추정치를 향상시킨다.
• $ \int_T^{2T} |G(\sigma + it)|^2 dt \ll T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ 의 조건부가 아닌 평균 제곱 추정치가 도출되었다.
• $ \sum_{0 < \gamma \leq T} |\zeta(1/2 + i\gamma)|^2 \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ 는 조건부가 아닌 것으로 확립되었으며, 이는 이전 추정치에 비해 상당한 향상이다.
• $ \int_1^T |\zeta(1/2 + it)|^2 dS(t) \ll_{\varepsilon} T \log^2 T (\log \log T)^{3/2 + \varepsilon} $ 는 조건부가 아닌 것으로 증명되었으며, $ S(t) $ 와 $ S^2(t) $ 를 통한 적분에도 유사한 추정치가 얻어졌다.
• 이 논문은 Bombieri-Hejhal 보조정리가 $ \int |\zeta(1/2 + it)|^2 dS(t) $ 에 대해 조건부가 아닌 것으로서 최대 $ O(T \log^2 T) $ 만을 제공하지만, $ G(s) $ 를 기반으로 한 방법을 통해 더 강력한 추정치를 확보할 수 있음을 보여준다.