[논문 리뷰] On Closest Pair in Euclidean Metric: Monochromatic is as Hard as Bichromatic

C. S. Karthik, Pasin Manurangsi|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Computational Geometry and Mesh Generation인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 강한 지수시간 가설(Strong Exponential Time Hypothesis, SETH) 하에, 차원 d = (log n)^Ωε(1)일 때 유클리드 공간에서 단색(closest pair) 문제는 이색(bichromatic) 문제만큼 계산적으로 어렵다는 것을 입증한다. 정확한 문제에 대해 어떤 ε > 0에 대해서도 O(n^{2−ε})의 시간 복잡도를 갖는 알고리즘이 존재하지 않음을 증명하며, 높은 차원 공간에서 거의 다항인 요인의 근사해를 구하는 것도 하위제곱 시간 내에 불가능하다고 규명한다. 이는 오류정정 코드를 활용한 밀도 높은 이분 그래프의 새로운 구성 기법을 통해 이루어졌다.

ABSTRACT

Given a set of n points in R^d, the (monochromatic) Closest Pair problem asks to find a pair of distinct points in the set that are closest in the l_p-metric. Closest Pair is a fundamental problem in Computational Geometry and understanding its fine-grained complexity in the Euclidean metric when d=omega(log n) was raised as an open question in recent works (Abboud-Rubinstein-Williams [FOCS'17], Williams [SODA'18], David-Karthik-Laekhanukit [SoCG'18]). In this paper, we show that for every p in R_{>= 1} cup {0}, under the Strong Exponential Time Hypothesis (SETH), for every epsilon>0, the following holds: - No algorithm running in time O(n^{2-epsilon}) can solve the Closest Pair problem in d=(log n)^{Omega_{epsilon}(1)} dimensions in the l_p-metric. - There exists delta = delta(epsilon)>0 and c = c(epsilon)>= 1 such that no algorithm running in time O(n^{1.5-epsilon}) can approximate Closest Pair problem to a factor of (1+delta) in d >= c log n dimensions in the l_p-metric. In particular, our first result is shown by establishing the computational equivalence of the bichromatic Closest Pair problem and the (monochromatic) Closest Pair problem (up to n^{epsilon} factor in the running time) for d=(log n)^{Omega_epsilon(1)} dimensions. Additionally, under SETH, we rule out nearly-polynomial factor approximation algorithms running in subquadratic time for the (monochromatic) Maximum Inner Product problem where we are given a set of n points in n^{o(1)}-dimensional Euclidean space and are required to find a pair of distinct points in the set that maximize the inner product. At the heart of all our proofs is the construction of a dense bipartite graph with low contact dimension, i.e., we construct a balanced bipartite graph on n vertices with n^{2-epsilon} edges whose vertices can be realized as points in a (log n)^{Omega_epsilon(1)}-dimensional Euclidean space such that every pair of vertices which have an edge in the graph are at distance exactly 1 and every other pair of vertices are at distance greater than 1. This graph construction is inspired by the construction of locally dense codes introduced by Dumer-Miccancio-Sudan [IEEE Trans. Inf. Theory'03].

연구 동기 및 목표

• SETH 하에 고차원 유클리드 공간(d = ω(log n))에서 단색 Closest Pair 문제의 미세한 복잡도를 규명하는 것.
• 특히 ℓp-거리 척도에서 단색 Closest Pair 문제가 이색 Closest Pair 문제보다 더 쉬운지에 대한 이해 격차를 해소하는 것.
• SETH 하에 고차원에서 Closest Pair 및 Maximum Inner Product 문제에 대한 근사 불가능성 결과를 확립하는 것.
• 오류정정 코드를 활용한 새로운 그래프 구성 기법을 개발하여 기하 문제에서의 계산적 난이도를 시뮬레이션하는 것.

제안 방법

• n개의 정점, n^{2−ε}개의 간선, 낮은 접촉 차원(d = (log n)^Ωε(1))를 갖는 밀도 높은 이분 그래프를 구성하여, 인접한 정점 간의 거리는 1이고, 비인접 정점 간의 거리는 ℓp-거리 척도에서 1보다 크도록 한다.
• Dumer-Miccancio-Sudan에 영감을 받은 局부 밀도 코드를 활용해, 정확한 거리 제어를 갖는 저차원 유클리드 공간에서 그래프를 실현한다.
• 거리와 근사도를 유지하는 가드지(gadget) 구성 기법을 통해 이색 Closest Pair 문제를 단색 Closest Pair 문제로 감소시킨다.
• Reed-Solomon 및 대수기하(Algebraic-Geometry, AG) 코드를 활용해 특정한 거리 비율과 크기 비율을 갖는 코드 쌍을 구축한다.
• 직교 벡터 가설(Orthogonal Vectors Hypothesis, OVH)과 SETH를 적용하여 문제의 정확한 및 근사적 해에 대한 조건부 하한 복잡도를 도출한다.
• 텐서 곱과 순열을 활용한 재귀적 임bedding 기법을 통해 난이도를 증폭시키고 근사 비율을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 SETH 하에, d = (log n)^Ωε(1) 차원에서 단색 Closest Pair 문제는 이색 문제만큼 어려운가?
• RQ2 고차원 ℓp-거리 척도에서 하위제곱 시간 알고리즘이 단색 Closest Pair 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ3 고차원에서 하위제곱 시간 내에 달성 가능한 Closest Pair의 최선의 근사 요인은 무엇인가?
• RQ4 SETH 하에 고차원에서 Maximum Inner Product 문제는 하위제곱 시간 내에 근사 가능한가?
• RQ5 이 난이도 프레임워크를 k-MIP나 기타 k-벡터 일반화로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• SETH 하에, d = (log n)^Ωε(1)일 때 ℓp-거리 척도에서 어떤 ε > 0에 대해서도 O(n^{2−ε}) 시간 내에 단색 Closest Pair 문제를 해결할 수 없다.
• 모든 ε > 0에 대해 δ = δ(ε) > 0 및 c = c(ε) ≥1 이 존재하여, O(n^{1.5−ε})-시간 알고리즘은 d ≥c log n 차원에서 (1+δ)-근사해를 구할 수 없다.
• d = (log n)^Ωε(1)일 때, 런타임에서 n^ε 요인 이내로 단색 및 이색 Closest Pair 문제 간의 계산적 동치성을 확립한다.
• SETH 하에, no(1)-차원 공간에서 Maximum Inner Product의 거의 다항인 요인의 근사는 하위제곱 시간 내에 계산할 수 없다.
• 낮은 접촉 차원과 정밀한 거리 제어를 갖는 밀도 높은 이분 그래프의 구성은 모든 하한 복잡도 결과를 가능하게 하는 핵심 기술적 혁신이다.
• Open Questions 1.1과 1.2를 해결하기 위해서는 더 나은 파arameter를 갖는 가드지 구성이 필요하며, 특히 차원 또는 간선 수의 한계를 향상시켜야 한다.