[논문 리뷰] On complexity of cyclic coverings of graphs

Young Soo Kwon, Alexander Mednykh외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 09.

Graph theory and applications참고 문헌 16인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 그래프의 n중 순환 커버링에서의 복잡도 τ(n) — 스패닝 트리의 수 — 를 체비셰프 다항식을 사용하여 명시적인 해석 공식으로 유도한다. 전압 다항식의 마라르 측도를 통해 n→∞ 일 때 τ(n)의 渐近 행동을 규명하고, 생성 함수 F(x) = ∑τ(n)xⁿ 이 정수 계수를 가진 유리 함수임을 증명한다.

ABSTRACT

By complexity of a finite graph we mean the number of spanning trees in the graph. The aim of the present paper is to give a new approach for counting complexity $τ(n)$ of cyclic $n$-fold coverings of a graph. We give an explicit analytic formula for $τ(n)$ in terms of Chebyshev polynomials and find its asymptotic behavior as $n o\infty$ through the Mahler measure of the associated voltage polynomial. We also prove that $F(x)=\sum\limits_{n=1}^\inftyτ(n)x^n$ is a rational function with integer coefficients.

연구 동기 및 목표

• 유한 그래프의 n중 순환 커버링에서 스패닝 트리의 수 τ(n)에 대한 명시적인 해석 공식을 유도하기 위해.
• 전압 다항식의 마라르 측도를 사용하여 n→∞ 일 때 τ(n)의 渐近 행동을 규명하기 위해.
• 생성 함수 F(x) = ∑τ(n)xⁿ 이 정수 계수를 가진 유리 함수임을 증명하기 위해.
• 전압 할당을 통해 순환 커버링의 복잡도를 체비셰프 다항식과 로렌츠 다항식 간에 연결하기 위해.
• 순환 커버링으로 일반화된 결과를 원환 그래프와 일반화된 페테르센 그래프와 같은 가족에 대해 스패닝 트리 복잡도에 적용하기 위해.

제안 방법

• 기저 그래프 H의 간선에 전압 할당을 사용하여 n중 순환 커버링 Hₙ 를 구성하기 위해.
• 고유값 분해를 통해 라플라스 행렬을 순환 행렬과 체비셰프 다항식의 형태로 표현하기 위해.
• 전압 로렌츠 다항식 P(z) 에 체비셰프 변환을 적용하여 Q(w) = ∑cₖTₖ(w) 를 유도하기 위해, 여기서 Tₖ 는 체비셰프 다항식이다.
• 순환 행렬의 고유값 공식과 모든 순환 행렬이 공통된 고유벡터를 가진다는 사실을 활용하여 라플라스 행렬을 대각화하기 위해.
• τ(Hₙ) = (1/n) ∏_{j=0}^{n-1} λ_j(Hₙ) 와 같은 항등식을 활용하여, τ(n) 을 단위근에서 평가된 Q(w) 의 형태로 표현하기 위해.
• 재귀의 특성 다항식으로부터 유도된 선형 재귀를 만족함을 보여 F(x) = ∑τ(n)xⁿ 이 정수 계수를 가진 유리 함수임을 증명하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 그래프의 n중 순환 커버링에서 스패닝 트리의 수는 어떻게 닫힌 형태로 표현될 수 있는가?
• RQ2 n→∞ 일 때 τ(n) 의 점점 증가하는 비율은 무엇이며, 전압 다항식의 마라르 측도와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 생성 함수 F(x) = ∑τ(n)xⁿ 이 정수 계수를 가진 유리 함수가 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 체비셰프 다항식은 순환 커버링의 스펙트럼 분석에서 어떻게 자연스럽게 나타나는가?
• RQ5 다양한 그래프 가족에서 순환 커버링의 복잡도는 하나의 대수적 프레임워크를 통해 통일적으로 표현될 수 있는가?

주요 결과

• n중 순환 커버링 Hₙ 에서 스패닝 트리의 수 τ(n) 은 τ(n) = (1/n) ∏_{j=0}^{n-1} Q(εⁿʲ) 로 주어지며, 여기서 Q(w) 는 전압 로렌츠 다항식의 체비셰프 변환이다.
• n→∞ 일 때, 상대적 복잡도는 lim_{n→∞} (log τ(n))/n = ∫₀¹ log|P(e²πⁱᵗ)| dt 를 만족하며, 이는 P(z) 의 마라르 측도와 같다.
• 하르 그래프 Hₙ(1,2) 에서는 τ(n) ∼ (n/2)(2+√3)ⁿ 이며, 명시적 공식 τ(n) = (−1)ⁿ(Tₙ(−2)−1) 이 성립한다.
• 생성 함수 F(x) = ∑τ(n)xⁿ 은 정수 계수를 가진 유리 함수이다; 예를 들어 하르 그래프의 경우 F(x) = 3(1+u+u²)/(2(1−u)(2+u)²) 이며, 여기서 u = −½(x + 1/x) 이다.
• Y(n;1,1,1) 그래프의 경우, n 이 홀수일 때 τ(n) = 3^{n−1}n Lₙ⁴ 이며, n 이 짝수일 때 τ(n) = 25·3^{n−1}n Fₙ⁴ 이다. 여기서 Lₙ 과 Fₙ 은 루카스 수와 피보나치 수이다.
• 세 원형 그래프에서 (α,β,γ)=(1,2,3) 일 때, τ(n) = (n(−4)^{n+1}/19)(1 − Tₙ(−11/8)) 이며, F(x) = 2(3+8u+8u²)/((1−u)(11+8u)²) 이다. 여기서 u = −½(4x + 1/(4x)) 이다.