[论文解读] On complexity of the quantum Ising model

Sergey Bravyi, Matthew B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文证明，在度数为3的图上估计横向场伊辛模型（TIM）的基态能量属于复杂度类StoqMA完全，表明TIM捕捉了2-局部可迹哈密顿量的全部计算难度。此外，该研究进一步表明，使用TIM进行的量子退火与使用一类广泛k-局部可迹哈密顿量（包括对角项和2-局部可迹项）的量子退火多项式等价。

ABSTRACT

We study complexity of several problems related to the Transverse field Ising Model (TIM). First, we consider the problem of estimating the ground state energy known as the Local Hamiltonian Problem (LHP). It is shown that the LHP for TIM on degree-3 graphs is equivalent modulo polynomial reductions to the LHP for general k-local `stoquastic' Hamiltonians with any constant $k\ge 2$. This result implies that estimating the ground state energy of TIM on degree-3 graphs is a complete problem for the complexity class StoqMA - an extension of the classical class MA. As a corollary, we complete the complexity classification of 2-local Hamiltonians with a fixed set of interactions proposed recently by Cubitt and Montanaro. Secondly, we study quantum annealing algorithms for finding ground states of classical spin Hamiltonians associated with hard optimization problems. We prove that the quantum annealing with TIM Hamiltonians is equivalent modulo polynomial reductions to the quantum annealing with a certain subclass of k-local stoquastic Hamiltonians. This subclass includes all Hamiltonians representable as a sum of a k-local diagonal Hamiltonian and a 2-local stoquastic Hamiltonian.

研究动机与目标

• 完全刻画在度数为3的图上估计横向场伊辛模型（TIM）基态能量的计算复杂度。
• 解决Cubitt与Montanaro提出的关于固定相互作用集合的2-局部哈密顿量的复杂度分类问题。
• 建立使用TIM哈密顿量的量子退火与使用一类广泛k-局部可迹哈密顿量的量子退火之间的等价性。
• 证明在度数为3的图上，TIM可通过多项式归约模拟任意2-局部可迹哈密顿量，从而确立其在StoqMA中的完全性。

提出的方法

• 构建从任意2-局部可迹哈密顿量到度数为3图上TIM有效低能哈密顿量的多项式归约。
• 利用微扰器件和Schrieffer-Wolff变换，将目标哈密顿量中的相互作用映射到TIM哈密顿量中的有效相互作用。
• 使用硬-core任意子和共振子映射，通过局部变换在TIM中模拟更高阶相互作用。
• 应用Jordan-Wigner变换和绝热态制备方法，在TIM框架中模拟逻辑量子比特和基态。
• 采用围道积分和复分析方法，界定伊辛链中的能级分裂和矩阵元，确保能谱间隙保持多项式有界。
• 证明TIM的基态可通过多项式时间内的绝热演化制备，从而为量子退火提供高效初始化。

实验结果

研究问题

• RQ1 在度数为3的图上，TIM的局部哈密顿量问题（LHP）是否属于复杂度类StoqMA完全？
• RQ2 是否能通过多项式归约，使度数为3图上的TIM哈密顿量高效模拟任意2-局部可迹哈密顿量？
• RQ3 使用TIM哈密顿量的量子退火是否与使用一类广泛k-局部可迹哈密顿量的量子退火多项式等价？
• RQ4 估计具有铁磁性或横向相互作用的TIM基态能量的计算复杂度是什么？
• RQ5 能否通过基于TIM的构造，利用绝热演化制备一般2-局部可迹哈密顿量的基态？

主要发现

• 在度数为3的图上，TIM的局部哈密顿量问题属于复杂度类StoqMA完全，确立了其在该类中的最大计算难度。
• 任意2-局部可迹哈密顿量均可通过度数为3图上的TIM哈密顿量以系统尺寸和相互作用强度的多项式开销进行模拟。
• 在度数为3的图上，TIM的基态能量可于时间poly(n, ε⁻¹)内以加法误差ε估计，其复杂度与一般2-局部可迹哈密顿量一致。
• 使用TIM哈密顿量的量子退火与使用任意k-局部可迹哈密顿量的量子退火多项式等价，其中该哈密顿量为k-局部对角项与2-局部可迹哈密顿量之和。
• 构造中使用的TIM链的能谱间隙为Ω(m⁻¹)，确保绝热态制备可在多项式时间内完成。
• 通过围道积分证明了伊辛链中的能量分裂和矩阵元有界，得到δ ≥ Ω(m⁻ᶜ⁻³/²)（c > 0），确认在低能极限下基态非简并。