[论文解读] Complexity classification of local Hamiltonian problems

Toby S. Cubitt, Ashley Montanaro|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 54被引用 10

一句话总结

本文对2-局部自旋比特哈密顿量问题进行了完整的复杂性分类，表明对于任意固定的相互作用项集合，该问题要么属于P，要么属于NP完全，要么等价于横向场伊辛模型，要么属于QMA完全。其主要贡献是提出了施莱弗二分定理的量子类比，为所有此类问题建立了精确的三分为（其中一类等价于伊辛模型），包括首次证明了在无1-局部项的情况下，海森堡模型和XY模型的QMA完全性。

ABSTRACT

The calculation of ground-state energies of physical systems can be formalised as the k-local Hamiltonian problem, which is the natural quantum analogue of classical constraint satisfaction problems. One way of making the problem more physically meaningful is to restrict the Hamiltonian in question by picking its terms from a fixed set S. Examples of such special cases are the Heisenberg and Ising models from condensed-matter physics. In this work we characterise the complexity of this problem for all 2-local qubit Hamiltonians. Depending on the subset S, the problem falls into one of the following categories: in P; NP-complete; polynomial-time equivalent to the Ising model with transverse magnetic fields; or QMA-complete. The third of these classes has been shown to be StoqMA-complete by Bravyi and Hastings. The characterisation holds even if S does not contain any 1-local terms; for example, we prove for the first time QMA-completeness of the Heisenberg and XY interactions in this setting. If S is assumed to contain all 1-local terms, which is the setting considered by previous work, we have a characterisation that goes beyond 2-local interactions: for any constant k, all k-local qubit Hamiltonians whose terms are picked from a fixed set S correspond to problems either in P; polynomial-time equivalent to the Ising model with transverse magnetic fields; or QMA-complete. These results are a quantum analogue of Schaefer's dichotomy theorem for boolean constraint satisfaction problems.

研究动机与目标

• 对从固定集合S中选取相互作用的2-局部自旋比特哈密顿量问题的计算复杂性进行分类。
• 确定此类问题是否可高效求解（属于P）、属于NP完全、等价于横向场伊辛模型，或属于QMA完全。
• 通过证明在无1-局部项的情况下，海森堡和XY等物理上相关的模型仍属于QMA完全，从而扩展了先前的结果。
• 为具有固定相互作用集合的k-局部哈密顿量建立类二分定理的分类，推广至2-局部以外的情形。

提出的方法

• 作者通过将相互作用项限制在固定集合S内（权重任意）来分析k-局部哈密顿量问题的复杂性。
• 他们使用约化和代数技术，包括对称态与自旋单重态投影的运用，以表征基态。
• 他们应用李布-马蒂斯定理和表示论，证明在完全二分图上，海森堡模型的基态唯一性与能量界限。
• 他们利用布瓦里与汉斯蒂斯关于StoqMA完全性的已知结果，对第三类复杂性进行分类。
• 他们证明横向场伊辛模型属于某一特定中间类，并使用Perron-Frobenius论证证明基态唯一性。
• 他们通过证明所有具有固定S的此类问题均属于三类复杂性之一（P、伊辛等价或QMA完全），将分类推广至k-局部哈密顿量。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于哪些2-局部自旋比特相互作用集合S，局部哈密顿量问题属于P、NP完全或QMA完全？
• RQ2 即使S中不包含任何1-局部项，能否证明海森堡和XY模型属于QMA完全？
• RQ3 在局部哈密顿量的背景下，是否存在施莱弗约束满足问题二分定理的量子类比？
• RQ4 横向场伊辛模型的精确复杂性是什么？它与其他类别的关系如何？
• RQ5 该分类能否从2-局部推广至具有固定相互作用集合的k-局部哈密顿量？

主要发现

• 对于任意固定的2-局部自旋比特相互作用集合S，局部哈密顿量问题要么属于P，要么属于NP完全，要么等价于横向场伊辛模型，要么属于QMA完全。
• 即使仅限制在无1-局部项的2-局部项中，海森堡和XY相互作用也属于QMA完全。
• 横向场伊辛模型属于某一特定中间类，该类已知为StoqMA完全。
• 对于从固定集合S中选取相互作用的k-局部哈密顿量，问题要么属于P，要么等价于横向场伊辛模型，要么属于QMA完全。
• 李布-马蒂斯模型（即在完全二分图上的海森堡模型）的基态是唯一的，能量为−n(n+2)，该结论通过自旋对称性和Perron-Frobenius论证得到证明。
• 本文为所有具有固定相互作用集合的k-局部自旋比特哈密顿量建立了完整分类，推广了2-局部以外的情形。