[논문 리뷰] On conformable fractional calulus

Thabet Abdeljawad|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 27.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 2인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 도함수의 단순화된 극한 정의를 바탕으로 새로운 잘 정의된 conformable 분수계수 미적분을 소개하고 개발한다. 기본 도구들—사슬법칙, 부분적분, 분수계수 테일러 급수, 라플라스 변환, 그론발의 부등식—을 수립하여 α→1일 때 고전적 결과로 축소됨을 보이며, 기존에 표준 테일러 급수를 갖지 못하는 함수들도 이 프레임워크를 통해 전개될 수 있음을 보여준다.

ABSTRACT

Recently, the authors Khalil, R., Al Horani, M., Yousef. A. and Sababheh, M., in " A new Denition Of Fractional Derivative, J. Comput. Appl. Math. 264. pp. 6570, 2014. " introduced a new simple well-behaved definition of the fractional derivative called conformable fractional derivative. In this article we proceed on to develop the definitions there and set the basic concepts in this new simple interesting fractional calculus. The fractional versions of chain rule, exponential functions, Gronwall's inequality, integration by parts, Taylor power series expansions, Laplace transforms and linear differential systems are proposed and discussed.

연구 동기 및 목표

• Khalil 등(2014)이 도입한 conformable 분수계수 도함수를 체계적인 미적분 프레임워크로 공식화하고 확장하는 것.
• 기존 분수계수 미적분의 한계—복잡한 곱셈 법칙과 사슬법칙—을 해결하기 위해 더 단순하고 직관적인 도함수 정의를 도입하는 것.
• 고전적 미적분에서 표준 테일러 전개를 갖지 못하는 함수들에 대해서도 테일러 급수 전개와 라플라스 변환을 가능하게 하는 것.
• 부분적분, 그론발의 부등식, 선형 시스템과 같은 핵심 분석 도구의 분수계수 유사체를 conformable 프레임워크를 사용하여 수립하는 것.
• conformable 미적분이 α→1일 때 고전적 미적분으로 축소됨을 보여, 기존 이론과의 일관성을 확보하는 것.

제안 방법

• 분수계수 도함수의 왼쪽 및 오른쪽 정의를 (t−a)^(1−α) 및 (b−t)^(1−α)를 포함하는 극한 기반 공식을 통해 α∈(0,1]에 대해 정의하여 고전적 도함수를 일반화한다.
• α∈(n,n+1]에 대해 기본 도함수를 순차적으로 적용하여 고차수 도함수(α>1)로 확장한다. 이때 β=α−n이다.
• 왼쪽 및 오른쪽 conformable 분수계수 적분을 각각 (x−a)^(α−1) 및 (b−x)^(α−1) 커널을 가진 가중 적분으로 정의한다.
• 분수계수 사슬법칙 및 부분적분 공식을 유도하고, α→1일 때 고전적 형태로 축소됨을 보여, 일관성을 확보한다.
• 기저 함수 (t−a)^(kα)/α^k k!을 사용한 분수계수 테일러 급수 전개를 제안하여 비해석 함수의 급수 표현을 가능하게 한다.
• 변수 치환 u=(t−a)^α/α를 통해 분수계수 라플라스 변환을 정의하고, 이를 변환된 함수의 고전적 라플라스 변환과 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 더 단순하고 직관적인 분수계수 도함수를 정의할 수 있을까? 이는 곱셈 법칙과 사슬법칙과 같은 고전적 미적분 성질을 유지해야 한다.
• RQ2 표준 테일러 급수 전개를 갖지 못하는 함수들이 conformable 미적분 프레임워크 내에서 분수계수 급수로 표현될 수 있을까?
• RQ3 부분적분, 그론발의 부등식, 라플라스 변환과 같은 고전적 도구의 분수계수 유사체가 존재하며, α→1일 때 고전적 형태로 축소되는가?
• RQ4 Mittag-Leffler 함수가 이용 불가능한 경우에도 conformable 분수계수 미적분이 고전적 분수계수 미적분보다 선형 미분방정식을 더 효과적으로 해결할 수 있는가?
• RQ5 conformable 미적분을 고차수 또는 다중차수 시스템으로 일반화할 수 있을까? 이때 일관성과 계산의 실현 가능성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 상수 함수의 conformable 분수계수 도함수는 0이며, 이는 리만-리우빌 미적분과 달리 고전적 직관과 더 잘 부합한다.
• 분수계수 사슬법칙 및 부분적분 공식이 유도되었고, α→1일 때 고전적 형태로 축소됨을 보여, 일관성이 확보된다.
• 표준 테일러 급수를 갖지 못하는 함수(예: 어떤 점에서 비해석적)는 기저 함수 e^{λ(t−a)^α/α}를 사용한 분수계수 테일러 급수로 표현 가능하며, 거듭제곱 급수 전개를 통해 수렴성이 입증된다.
• 분수계수 라플라스 변환은 정의되었고, 이를 통해 변환된 함수의 고전적 라플라스 변환과 연결되며, conformable 분수계수 상미분방정식의 해를 구하는 데 기여한다.
• conformable 분수계수 초기값 문제 (T_α^a y)(t) = λy(t), y(a)=y₀의 해는 y(t) = y₀ e^{λ(t−a)^α/α}로 주어지며, 이는 분수계수 지수함수와 일치한다.
• 선형 시스템의 경우, T_α^a y = Ay + f(t)의 해는 행렬 지수 함수 e^{A(t−a)^α/α}로 표현되며, 비동차 항은 콘볼루션 적분으로 기술된다.