[논문 리뷰] On congruences related to central binomial coefficients

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2009. 11. 12.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 25인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 중심 이항계수를 포함하는 고전적 급수의 p진 유사체를 수립하며, 조화수, 오일러 수, 베르누이 수, 페르마 몫을 사용하여 π의 거듭제곱으로 수렴하는 결과를 도출한다. 유한 합에 대한 p² 및 p³ 모듈로 합동식을 증명함으로써 기존의 무한 급수 항등식을 p진 설정에서 정밀화하며, 핵심 결과로 오일러 수와 허수 정수계의 계수 수식과의 연결을 제시한다.

ABSTRACT

It is known that $\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)4^k)=π/2$ and $\sum_{k=0}^\infty\binom{2k}{k}/((2k+1)16^k)=π/3$. In this paper we obtain their p-adic analogues such as $$\sum_{p/23 is a prime and E_0,E_1,E_2,... are Euler numbers. Besides these, we also deduce some other congruences related to central binomial coefficients. In addition, we pose some conjectures one of which states that for any odd prime p we have $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=4x^2-2p (mod p^2)$$ if (p/7)=1 and p=x^2+7y^2 with x,y integers, and $$\sum_{k=0}^{p-1}\binom{2k}{k}^3=0 (mod p^2)$$ if (p/7)=-1, i.e., p=3,5,6 (mod 7).

연구 동기 및 목표

• 중심 이항계수를 포함하는 고전적 무한 급수의 p진 유사체를 수립하여, 이들이 유리수 배수의 π, π², 또는 π³로 평가됨을 보이기.
• m=4,16,64 및 r=1,2,3에 대해 형식 ∑(k=0 to p−1) binomial(2k,k)^m / (m^k * (2k+1)^r) 의 유한 합에 대해 p² 및 p³ 모듈로 합동식을 유도하기.
• 소수를 x²+dy² 형태로 표현하는 방식을 통해 이러한 p진 합동식을 L-함수의 특수값과 허수 정수계의 계수 수식과 연결하기.
• 특히 k³ 및 카탈란 수를 포함하는 합에 대해 더 깊은 p의 고차 모듈로로의 정밀화를 추측하기.
• 기호 계산과 조합 항등식을 사용하여 중심 이항계수에 대한 기존의 p진 값과 합동식 결과를 확장하기.

제안 방법

• 1/(2k+1) = ∫₀¹ x²ᵏ dx 와 같은 적분 표현을 사용하여 무한 급수를 적분과 p진 극한과 연결하기.
• Sigma 소프트웨어를 통해 유도된 조합 항등식을 적용하여 binomial(2k,k)을 포함하는 합을 조화수 및 베르누이/오일러 수를 포함하는 표현으로 변환하기.
• 페르마 몫 qₚ(a) = (aᵖ⁻¹−1)/p 와 레이저드 표기법 (a/p) 을 사용하여 p² 모듈로 합동식을 표현하기.
• 기존의 조화수 Hₚ₋₁ ≡ −p²Bₚ₋₃/3 (mod p³) 의 p진 전개를 활용하여 합동식을 정밀화하기.
• cusp 형식 q∏(1−q⁴ⁿ)⁶ 와 같은 생성함수와 모듈러 형식을 사용하여 ∑ binom(2k,k)³/64ᵏ mod p² 의 p진 행동을 특성화하기.
• 수치적 증거와 기존 급수(특히 카탈란 수와 중심 이항계수를 포함하는 급수)와의 구조적 유사성에 기반한 추측 제시하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 홀수 소수 p에 대해, 고전적 급수 ∑ₖ₌₀^∞ binom(2k,k)/((2k+1)4ᵏ) = π/2 가 p² 모듈로에서 p진 합동식으로 정밀화될 수 있는가?
• RQ2 홀수 소수 p > 3 에 대해, 합 ∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)16ᵏ) 와 그 尾합(꼬리 합)은 p² 모듈로에서 어떻게 행동하는가?
• RQ3 ∑ₖ₌₀^p₋₁ k³ binom(2k,k)³ / 64ᵏ 의 p진 행동은 p² 모듈로에서 어떻게 되며, 이는 p mod 4 에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 ∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ³ / 64ᵏ 이 (p/7)=1 일 때 p를 x²+7y² 형태로 표현하는 방식과 계수 수식을 통해 표현될 수 있는가?
• RQ5 ∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(2k,k)² / 8ᵏ 와 ∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(2k,k)² / 32ᵏ 는 x≡1 mod 4 를 만족하는 x, y 를 포함한 x²+y²=p 의 조건을 만족하는 합동식을 만족하는가?

주요 결과

• 홀수 소수 p에 대해, ∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)4ᵏ) ≡ (−1)^(p+1)/2 qₚ(2) (mod p²) 이며, 이는 합이 페르마 몫과 연결됨을 보여준다.
• p > 3 일 때, ∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)16ᵏ) ≡ 0 (mod p²) 이고, 꼬리 합 ∑ₚ/₂<k<p ≡ (p/3)Eₚ₋₃ (mod p²) 이며, 오일러 수와 연결됨을 보여준다.
• p > 3 일 때, ∑ₖ₌₀^((p−3)/2) binom(2k,k)/((2k+1)²4ᵏ) ≡ (−1)^(p+1)/2 qₚ(2)²/2 (mod p) 이며, 제곱 역이항계수 합의 p진 행동이 정밀화됨을 보여준다.
• ∑ₖ₌₀^p₋₁ k³ binom(2k,k)³ / 64ᵏ ≡ 0 (mod p²) 이며, p ≡ 1 (mod 4) 일 때, p ≡ 3 (mod 4) 일 때는 ≡ −1/640 ((p+1)/4)!)⁻⁴ (mod p) 이며, p mod 4 에 따라 깊은 의존성을 보임을 보여준다.
• p ≡ 3 (mod 4) 일 때, ∑ₖ₌₀^p₋₁ binom(p−1,k) binom(2k,k)³ / (−64)ᵏ ≡ 0 (mod p²) 이며, 이는 왜곡된 합에서 상쇄 현상이 일어남을 나타낸다.
• ∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ² / 16ᵏ ≡ −3 (mod p) 이고, ∑ₖ₌₀^p₋₁ Cₖ³ / 64ᵏ ≡ 7 (mod p) 이며, p ≡ 1 (mod 4) 일 때는 ((p+1)/4)!)⁻⁴ 항이 보정항으로 포함됨을 보여주며, 계수 수와 연결됨을 보여준다.