[논문 리뷰] On conjugates and the asymptotic distortion of 1-dimensional $C^{1+bv}$ diffeomorphisms

Andrés Navas|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 14.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 16인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 절대 연속적인 도함수와 무리 회전 수를 가진 $C^{1+bv}$ 원주 미분형사가 $C^{1+bv}$ 위상에서 회전으로 공역 가능하다는 것을 증명하며, 헤르만의 결과를 $C^2$에서 $C^{1+bv}$ 정규성으로 개선한다. 또한 이러한 결과를 이러한 미분형사들의 자유이자 가산적인 아벨 군으로 확장하여 기하적 방법을 통해 명시적인 공역 수열을 제공한다.

ABSTRACT

We show that a $C^{1+bv}$ circle diffeomorphism with absolutely continuous derivative and irrational rotation number can be conjugated to diffeomorphisms that are $C^{1+bv}$ arbitrary close to the corresponding rotation. This improves a theorem of M.~Herman, who established the same result but starting with a $C^2$ diffeomorphism. We prove that the same holds for countable Abelian groups of circle diffeomorphisms acting freely, a result that is new even in the $C^{\infty}$ context. Related results and examples concerning the asymptotic distortion of diffeomorphisms are presented. Along this path, we provide a straightened version of the classical Denjoy-Kocsma inequality for absolutely continuous potentials.

연구 동기 및 목표

• 절대 연속적인 도함수를 가진 $C^{1+bv}$ 원주 미분형사가 무리 회전 수를 가지면, 헤르만의 결과에서 $C^2$에서 $C^{1+bv}$ 정규성으로 확장된 $C^{1+bv}$ 위상에서의 공역 결과를 확장한다.
• 단일 미분형사에서의 공역 결과를 자유이자 가산적인 아벨 군의 $C^{1+bv}$ 원주 미분형사로 일반화한다.
• 군 원소 위에서 도함수의 곱을 기반으로 한 기하적 방법에 기반한 명시적인 공역 수열의 구성 방법을 제시한다.
• 이러한 공역의 총 변동성의 渐近적 행동이 0으로 수렴함을 입증하여 $C^{1+bv}$ 수렴을 보장한다.
• 기존의 딜로이-코크스마 부등식을 절대 연속 잠재력에 대해 재조정하여 주요 결과를 뒷받침하는 보완적 결과를 제시한다.

제안 방법

• 성장하는 유한 집합 $B(n-1)$ 내의 모든 군 원소의 도함수의 정규화된 기하 평균이 되는 도함수를 가지는 공역 미분형사 수열 $h_n$을 구성한다.
• 코사이클 관계와 도함수 체인 규칙을 사용하여 공역된 사상의 왜곡, 특히 로그 도함수의 변동성을 분석한다.
• 웨일의 등분포 정리를 적용하여 궤도 세그먼트 위에서 두 번째 로그 도함수의 에르고딕 평균이 극한에서 0이 됨을 보인다.
• $C^1$ 공역이 회전으로 이끌어내는 $Dh_n$ 및 $Dh_n^{-1}$의 균일한 유계성 조건을 이용하여 공역된 사상의 로그 도함수의 총 변동성을 제어한다.
• 특히 $Dh_n$이 정규화된 기하 평균이므로 $L^1$에서 균일 유계이며 도함수 1로 수렴함을 보장한다.
• 경로 기반 구성 방법을 사용하여 수열 결과를 연속적인 공역 경로로 확장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 헤르만의 $C^2$ 미분형사에 대한 $C^{1+bv}$ 공역 결과를 절대 연속 도함수를 가진 $C^{1+bv}$ 미분형사로 확장할 수 있는가?
• RQ2 자유이자 가산적인 아벨 군의 $C^{1+bv}$ 원주 미분형사가 무리 회전 수를 가지면, $C^{1+bv}$ 위상에서의 공역이 회전으로 성립하는가?
• RQ3 공역된 사상이 $C^{1+bv}$에서 회전으로 수렴하는 명시적인 공역 수열을 구성할 수 있는가?
• RQ4 공역된 사상의 로그 도함수의 총 변동성의 渐近적 행동은 어떠한가? 이는 왜곡 제어와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 동역학적 맥락에서 고전적인 딜로이-코크스마 부등식을 절대 연속 잠재력에 대해 어떻게 재조정할 수 있는가?

주요 결과

• 절대 연속 도함수와 무리 회전 수를 가진 모든 $C^{1+bv}$ 원주 미분형사는 $C^{1+bv}$ 위상에서 해당 회전으로 수렴하는 $C^{1+bv}$ 공역 수열을 갖는다.
• 절대 연속 도함수를 가진 자유이자 가산적인 아벨 군의 $C^{1+bv}$ 원주 미분형사에 대해, 해당 회전 군 작용으로 수렴하는 $C^{1+bv}$ 공역 경로가 존재한다.
• 집합 $B(n-1)$ 위에서 도함수의 정규화된 기하 평균으로 정의된 명시적인 공역 수열 $h_n$은 $h_n f h_n^{-1} \to R_{\rho(f)}$ 를 $C^{1+bv}$에서 만족한다.
• 공역된 사상의 로그 도함수의 총 변동성이 0으로 수렴하며, 이는 $C^{1+bv}$ 수렴의 핵심 요소이다.
• 증명 과정에서 궤도 세그먼트 위에서 두 번째 로그 도함수의 에르고딕 평균이 웨일의 등분포 정리와 군 작용의 구조에 의해 극한에서 0이 됨을 입증한다.
• 이 결과는 무리 회전 수를 가지며 절대 연속 도함수를 가진 $C^{1+bv}$ 미분형사의 공역류가 이러한 사상들의 공간에서 $C^{1+bv}$ 밀도를 이룬다는 것을 시사한다.