[논문 리뷰] On convolution groups of completely monotone sequences/functions and fractional calculus

Lei Li, Jian‐Guo Liu|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 06.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 국소 적분 가능한 함수, 특히 유한 시간 내 폭발하는 함수를 포함하여 일반화된 Caputo 도함수를 컨볼루션 군 프레임워크를 통해 도입한다. 분포와 완전히 단조 감소하는 커널을 기반으로 한 분수적 미적분학을 활용하여, t > 0에서 Riemann-Liouville 미적분학과 일致하는 군 구조를 수립한다. 이는 최소한의 조건에서도 분수적 상미분방정식과 편미분방정식에 대한 일반적인 Gronwall 부등식과 강력한 에너지 추정을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We extend in this paper the definition of Caputo derivatives of order in $(0,1)$ to a certain class of locally integrable functions using a convolution group. Our strategy is to define a fractional calculus for a certain class of distributions using the convolution group. When acting on causal functions, this fractional calculus agrees with the traditional Riemann-Liouville definition for $t>0$ but includes some singularities at $t=0$ so that the group property holds. Then, making use of this fractional calculus, we introduce the generalized definition of Caputo derivatives. The new definition is consistent with various definitions in literature while reveals the underlying group structure. Since the new definition is valid for a class of locally integrable functions that can blow up in finite time, it provides a framework for solutions to fractional ODEs and fractional PDEs with very weak conditions. The underlying group property makes many properties of Caputo derivatives natural. In particular, it allows us to de-convolve the fractional differential equations to integral equations with completely monotone kernels, which then enables us to prove the general Gronwall inequality (or comparison principle) with the most general conditions. This then provides the essential tools for {\it a priori} energy estimates of fractional PDEs. Some other fundamental results for fractional ODEs are also established within this frame under very weak conditions.

연구 동기 및 목표

• (0,1) 범위의 순서를 가진 Caputo 도함수를 유한 시간 내 폭발할 수 있는 국소 적분 가능한 함수의 더 넓은 클래스로 확장하는 것.
• 분포의 컨볼루션 군을 이용한 분수적 미적분학 프레임워크를 수립하여 군 구조가 유지되도록 하는 것.
• 기존 Caputo 도함수 정의를 통합하고 일반화하면서도 군 성질과 같은 기본 성질을 유지하는 것.
• 분수적 미분방정식을 완전히 단조 감소하는 커널을 가진 적분방정식으로 분해(디컨볼루션)할 수 있도록 하는 것.
• 최소한의 정규성 조건 하에서 분수적 편미분방정식에 대한 사전 에너지 추정과 비교 원리의 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• 분포에 대한 분수적 미적분학을 컨볼루션 군의 구조를 이용해 정의하여 군 성질이 유지되도록 하는 것.
• 이 컨볼루션 군을 통해 일반화된 Caputo 도함수를 구성하여, t = 0에서 특이성을 가진 함수로 고전적 정의를 확장하는 것.
• t > 0에서 Riemann-Liouville 정의와 일致하면서도 약한 적분 가능성 조건을 가진 인과적 함수를 수용하는 것.
• 군 구조를 활용하여 분수적 미분방정식을 완전히 단조 감소하는 커널을 가진 적분방정식으로 디컨볼루션하는 것.
• 커널 구조를 활용하여 가장 일반적인 조건 하에서 일반적인 Gronwall 부등식을 증명하는 것.
• 함수의 정규성에 대한 최소한의 가정만으로도 분수적 상미분방정식에 대한 기본 결과를 프레임워크를 통해 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 (0,1) 범위의 순서를 가진 Caputo 도함수는 어떻게 국소 적분 가능한 함수로 일관되게 확장할 수 있는가, 특히 유한 시간 내 폭발할 수 있는 함수에 대해서도 말이다?
• RQ2 컨볼루션 군은 분수적 미분의 군 성질을 유지하는 분수적 미적분학을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 제안된 프레임워크는 분수적 미분방정식에 대한 일반적인 Gronwall 부등식 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 어떤 방식으로 군 구조는 약한 정규성 조건 하에서 분수적 상미분방정식과 편미분방정식의 분석을 단순화하는가?
• RQ5 새로운 정의는 기존 Caputo 도함수 정의를 통합하면서도 에너지 추정에 대해 더 강력한 분석 도구를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 일반화된 Caputo 도함수는 폭발 가능성이 있는 국소 적분 가능한 함수의 광범위한 클래스에 대해 정의되며, 고전적 프레임워크를 확장한다.
• 컨볼루션 군 기반의 분수적 미적분학 프레임워크는 군 성질을 보장하여 분수적 미분방정식의 분석을 단순화한다.
• 이 접근법은 분수적 미분방정식을 완전히 단조 감소하는 커널을 가진 적분방정식으로 분해(디컨볼루션)할 수 있도록 하여 일반적인 비교 원리를 가능하게 한다.
• 최대한 일반적인 조건 하에서 일반적인 Gronwall 부등식이 확립되어, 분수적 편미분방정식의 사전 에너지 추정에 필수적인 도구를 제공한다.
• 최소한의 정규성 가정 하에서도 분수적 상미분방정식에 대한 기본 결과를 지원하여 분수적 미적분학의 적용 가능성을 강화한다.