[논문 리뷰] On cubic equations over $P-$adic field

Farrukh Mukhamedov, B. A. Omirov외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 04. 08.

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한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Z}_p^*$ 위에서의 데프레스드 큐빅 방정식의 해법 기준을 수립하며, 고전적 카르다노 방법이 p-진 설정에서 항상 적용 가능하지 않음을 보여준다. p-진 값매김과 $p$를 모듈로로 한 잔여 조건에 기반하여 p-진 카르다노 공식의 유효성에 대한 완전한 특성화를 제공하며, 세르와 숭의 $\mathbb{F}_p$ 위에서의 결과를 일반화한다. 주요 기여는 p-진 맥락에서 해법 가능성과 카르다노 방법의 적용 가능성을 체계적으로 분류한 것으로, 레이지드르 기호와 모듈로 $p$에 대한 곱셈 순서를 포함한 명시적 조건을 제시한다.

ABSTRACT

We provide a solvability criteria for a depressed cubic equation in domains $\bz_p^{*},\bz_p,\bq_p$. We show that, in principal, the Cardano method is not always applicable for such equations. Moreover, the numbers of solutions of the depressed cubic equation in domains $\bz_p^{*},\bz_p,\bq_p$ are provided. Since $\bbf_p\subset\bq_p,$ we generalize J.-P. Serre's \cite{JPSJ} and Z.H.Sun's \cite{ZHS1,ZHS3} results concerning with depressed cubic equations over the finite field $\bbf_p$. Finally, all depressed cubic equations, for which the Cardano method could be applied, are described and the $p-$adic Cardano formula is provided for those cubic equations.

연구 동기 및 목표

• 데프레스드 큐빅 방정식 $x^3 + ax + b = 0$ 이론에 대해 $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Z}_p^*$ 영역에서의 완전한 해법 기준을 수립하는 것.
• 고전적 카르다노 방법이 p-진 설정에서 언제 적용 가능한지 판단하는 것. 이는 일부 방정식이 해를 가지더라도 카르다노 공식이 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 잘 정의되지 않을 수 있기 때문이다.
• 세르와 숭이 유한체 $\mathbb{F}_p$ 위에서의 큐빅 방정식에 대해 이전에 얻은 결과를 전체 p-진 체 $\mathbb{Q}_p$로 일반화하는 것.
• 특정 값매김 및 잔여 조건 하에서 p-진 카르다노 공식의 유사체를 유도하는 것.
• p-진 성질에 기반하여 $\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 데프레스드 큐빅 방정식의 해의 수를 세는 것.

제안 방법

• 저자들은 p-진 값매김 $|\cdot|_p$ 와 p-진 순서 $\text{ord}_p(x)$ 를 사용하여 $\mathbb{Q}_p$ 위에서의 데프레스드 큐빅 방정식 $x^3 + ax + b = 0$ 의 해법 가능성을 분석한다.
• 그들은 $|a|_p^3$ 와 $|b|_p^2$ 의 상대적인 크기를 기반으로 해를 분류하며, 주로 세 가지 주요 케이스로 나눈다: $|a|_p^3 < |b|_p^2$, $|a|_p^3 = |b|_p^2$, 및 $|a|_p^3 > |b|_p^2$.
• 각 케이스에 대해, 식 $$\sqrt[3]{\frac{b}{2} + \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}} + \sqrt[3]{\frac{b}{2} - \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^3 + \left(\frac{b}{2}\right)^2}}$$ 가 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 잘 정의되는지의 조건을 유도한다.
• 카르다노 공식의 유효성은 특정 식이 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 완전한 제곱수 또는 완전한 세제곱수인지 여부에 따라 달라지며, 이는 레이지드르 기호 조건과 헨젤의 보조정리에 의해 결정된다.
• 저자들은 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 세제곱근을 결정하기 위해 $x^3 \equiv c \pmod{p}$ 가 $c^{(p-1)/\gcd(3,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ 를 만족함으로써 해가 존재하는지의 조건을 사용한다.
• 해의 수는 계수의 값매김과 잔여류에 기반하여 $\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Q}_p$ 내의 해 집합의 구조를 분석함으로써 세어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 데프레스드 큐빅 방정식 $x^3 + ax + b = 0$ 이 $\mathbb{Q}_p$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Z}_p^*$ 에서 언제 해를 갖는가?
• RQ2 고전적 카르다노 방법은 언제 $\mathbb{Q}_p$ 위에서의 큐빅 방정식 해법에 적용 가능한가?
• RQ3 큐빅 방정식의 해법 가능성은 계수 $a$ 와 $b$ 의 p-진 값매김에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ4 $\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 데프레스드 큐빅 방정식의 해의 수는 얼마인가?
• RQ5 세르와 숭의 $\mathbb{F}_p$ 위에서의 큐빅 방정식 결과는 어떻게 전체 p-진 체 $\mathbb{Q}_p$ 로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 카르다노 방법은 $\mathbb{Q}_p$ 위에서 항상 적용 가능하지 않다. 즉, 해를 가지는 방정식들 중에서도 카르다노 공식이 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 잘 정의되지 않는 경우가 존재한다.
• p-진 카르다노 공식은 $a$ 와 $b$ 의 p-진 값매김과 그 주요 계수의 $p$를 모듈로로 한 잔여 클래스에 대한 특정 조건을 만족할 때에만 유효하다.
• 반경 $|a|_p^3 < |b|_p^2$ 의 경우, $3 \mid \log_p |b|_p$ 이고 $b_0^{(p-1)/\gcd(3,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$ 를 만족할 때 공식이 유효하다.
• $|a|_p^3 = |b|_p^2$ 의 경우, 세 개의 부케이스로 나뉜다: $D=0$ 이고 $(4b_0)^{(p-1)/\gcd(3,p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$, $0 < |D|_p < 1$ 이고 추가적인 레이지드르 기호 및 세제곱근 조건이 만족되며, $|D|_p = 1$ 이고 $\Delta_0$ 와 관련된 조건이 만족될 때.
• $|a|_p^3 > |b|_p^2$ 의 경우, $2 \mid \log_p |a|_p$ 이고 $(3a_0)^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p}$ 를 만족할 때 공식이 유효하며, 이는 $\frac{a}{3}$ 이 $\mathbb{Q}_p$ 내에서 완전한 제곱수임을 보장한다.
• $\mathbb{Z}_p^*$, $\mathbb{Z}_p$, 및 $\mathbb{Q}_p$ 내의 해의 수는 값매김과 잔여 조건에 의해 명시적으로 결정되며, 이는 이전의 $\mathbb{F}_p$ 위에서의 결과를 일반화한다.