[논문 리뷰] On dimension and regularity of bundle measures

Rami Ayoush, Michał Wojciechowski|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 04.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 21인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 동차 선다발의 $l$-반대칭성에 기반한 새로운 척도를 통해 벡터 값 측도의 반대칭성을 푸리에 해석적 프레임워크로 정량화한다. 이 프레임워크는 이러한 측도의 정직선 및 하우스도르프 차원에 하한을 설정하며, $2$-웨이브 콘 유형 조건이 만족될 경우 하우스도르프 차원이 최소 2임을 증명하고, 유한한 $\mathcal{H}^1$ 측도를 가진 $1$-순수하게 비정직선 집합 위에서 다발 측도가 0이 됨을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we quantify the notion of antisymmetry of the Fourier transform of certain vector valued measures. The introduced scale is related to the condition appearing in Uchiyama's theorem and is used to give a lower bound for the rectifiable dimension of those measures. Moreover, we obtain an estimate of the lower Hausdorff dimension assuming certain more restrictive version of the $2$-wave cone condition. Results of our considerations can be viewed as an uncertainty-type principle in the following way: it is impossible to simultaneously localize a (bundle) measure and a direction of its Fourier transform on small sets. The investigated class is modeled on the example of gradients of BV functions. The article contains also a theorem concerning regularity: we prove that elements of considered class vanish on 1-purely unrectifiable sets. Our results can be applied to studying the properties of PDE-constrainted measures.

연구 동기 및 목표

• 동차 선다발의 $l$-반대칭성에 기반한 새로운 척도를 사용하여, 벡터 값 측도의 푸리에 변환의 반대칭성을 정량화하기.
• 다발의 기하학적 및 정규성 조건 하에서 다발 측도의 정직선 및 하우스도르프 차원에 하한을 설정하기.
• 푸리에 해석적 및 기하학적 기법을 활용하여 $BV$ 기울기의 결과를 더 넓은 범위의 PDE 제약 측도로 확장하기.
• 다발 측도가 유한한 $\mathcal{H}^1$ 측도를 가진 $1$-순수하게 비정직선 집합 위에서 0이 됨을 증명하여 고전적인 정직선성 결과를 일반화하기.
• $\mathbb{R}^3$에서 $BV$ 기울기의 차원 추정치에 대해 공액도 공식에 의존하지 않는 순수하게 푸리에 해석적 증명을 제공하기.

제안 방법

• 임의의 $(l+1)$차원 부분공간 위에서 서로 다른 섬유를 가진 선다발 $\phi$에 대해 $l$-반대칭성을 정의하기.
• $\phi$가 $l$-반대칭이 되는 최소 $l$를 $a(\phi)$로 정의하고, 이를 바탕으로 $\dim_H(\mu)$의 하한에 대한 추측을 수립하기.
• 푸리에 변환에 적합한 수정된 측도 이론적 확대 방법을 적용하여, 스무스하고 비상수인 $\phi$에 대해 $\dim_{\text{rect}}(\mu) \geq n - a(\phi)$를 증명하기.
• $s$-리즈 집합과 살레 집합을 활용하고, 한쪽 방향의 프로스트만 보조정리를 적용하여, $2$-웨이브 콘 조건 하에서 $\dim_H(\mu) \geq 2$를 증명하기.
• 베식로비치-페더러 사영 정리를 적용하여, $\phi$가 지수 $>1/2$의 헬더 연속일 경우, 유한한 $\mathcal{H}^1$ 측도를 가진 $1$-순수하게 비정직선 집합 위에서 $\mu$가 0이 됨을 보여주기.
• 다발의 비동차성에 대해 $L^2$-편향을 允허하여 결과를 비동차 다발으로 일반화하고, 특이 집합의 구조가 유지됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다발 $\phi$의 반대칭성과 그에 관련된 측도의 차원 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ2 다발 측도의 정직선 차원이 $n - a(\phi)$로 하한이 되는가? 이는 어떤 정규성 조건 하에서 성립하는가?
• RQ3 다발 $\phi$에 어떤 조건이 성립할 경우, 측도 $\mu$의 하우스도르프 차원이 $\dim_H(\mu) \geq 2$를 만족하는가?
• RQ4 다발 측도가 유한한 $\mathcal{H}^1$ 측도를 가진 $1$-순수하게 비정직선 집합에 얼마나 많은 질량을 가질 수 있는가?
• RQ5 결과는 어떤 조건에서 PDE 제약 측도, 특히 취소성 또는 웨이브 콘 조건을 가진 미분 연산자로부터 유도된 측도로 확장되는가?

주요 결과

• 스무스하고 비상수인 선다발 $\phi$에 따라 서브오르더된 다발 측도 $\mu$의 정직선 차원은 $\dim_{\text{rect}}(\mu) \geq n - a(\phi)$를 만족하며, 약간의 기하학적 가정 하에서 이는 추측을 확인한다.
• 만약 $\mu$가 정직선이라면, $\dim_H(\mu) \geq \frac{n}{2}$ 또는 $\mu$는 효과적으로 스칼라 값 측도(값이 단일 직선에만 존재)임이 성립한다.
• $2$-웨이브 콘 조건—구체적으로, 유한한 수의 $2$차원 부분공간 $V_i$가 존재하여 $\phi(V_i \setminus \{0\}) \subset W_i$ 이고 $\bigcap_i W_i = \{0\}$를 만족할 경우—하우스도르프 차원은 최소 2이다.
• 지수 $> \frac{1}{2}$의 헬더 연속 다발에 대해, $\mathcal{H}^1(F) < \infty$인 임의의 $1$-순수하게 비정직선 보렐 집합 $F$ 위에서 $\mu$는 0이 되며, 이는 고전적인 $BV$ 기울기 결과를 일반화한다.
• 비동차 다발로의 결과 확장을 위해 $L^2$-편향을 允허함으로써, 제곱summable 오차가 특이 집합의 구조에 영향을 주지 않음을 보여주었다.
• 이 프레임워크는 $\mathbb{R}^3$에서 $BV(\mathbb{R}^3)$ 기울기의 경우 $\dim_H(\mu) \geq 2$ 추정치에 대해 공액도 공식에 의존하지 않는 순수한 푸리에 해석적 증명을 제공한다.