[논문 리뷰] On discrete least square projection in unbounded domain with random evaluations and its application to parametric uncertainty quantification

Tao Tang, Tao Tang|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 26.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 무한정의 도메인에서 랜덤 평가를 사용할 때 다항식 대신 헤르미트 및 라거르 함수를 이산 최소제곱 투영에 사용하여 안정성을 크게 향상시키는 방법을 제안한다. 이는 근사 공간 차원에 대해 설계 점 수를 선형 스케일링할 수 있게 한다. 또한, 함수가 가우시안/감마 측도보다 빠르거나 느리게 감쇠하는 경우에 특히 빠른 수렴을 가속화하기 위해 스케일링 인자를 도입한다.

ABSTRACT

This work is concerned with approximating multivariate functions in unbounded domain by using discrete least-squares projection with random points evaluations. Particular attention are given to functions with random Gaussian or Gamma parameters. We first demonstrate that the traditional Hermite (Laguerre) polynomials chaos expansion suffers from the extit{instability} in the sense that an extit{unfeasible} number of points, which is relevant to the dimension of the approximation space, is needed to guarantee the stability in the least square framework. We then propose to use the Hermite/Laguerre {\em functions} (rather than polynomials) as bases in the expansion. The corresponding design points are obtained by mapping the uniformly distributed random points in bounded intervals to the unbounded domain, which involved a mapping parameter $L$. By using the Hermite/Laguerre {\em functions} and a proper mapping parameter, the stability can be significantly improved even if the number of design points scales extit{linearly} (up to a logarithmic factor) with the dimension of the approximation space. Apart from the stability, another important issue is the rate of convergence. To speed up the convergence, an effective scaling factor is introduced, and a principle for choosing quasi-optimal scaling factor is discussed. Applications to parametric uncertainty quantification are illustrated by considering a random ODE model together with an elliptic problem with lognormal random input.

연구 동기 및 목표

• 이산 최소제곱 투영을 사용할 때 랜덤 샘플링을 적용할 경우 무한정의 도메인에서 전통적인 헤르미트/라거르 다항식 혼합 방법의 수치적 불안정성을 해결한다.
• 수치적 안정성을 확보하기 위해 다항식 기반 최소제곱 방법에서 지수적으로 많은 샘플이 필요로 하는 문제를 해결한다.
• 가우시안 또는 감마 분포를 가진 매개변수를 가진 다변수 함수에 대해 안정적이고 효율적인 최소제곱 근사화 프레임워크를 개발한다.
• 대상 함수의 감쇠 행동에 맞게 조정된 효과적인 스케일링 인자를 통해 수렴 속도를 향상시킨다.
• 고정밀도 기반 참조 해를 사용한 희소 격자 콜로케이션을 통해, 로그노멀 입력을 가진 상미분방정식과 타원형 편미분방정식 모델을 통해 이 방법의 효과성을 입증한다.

제안 방법

• 최소제곱 투영에서 기저 함수로 헤르미트/라거르 다항식 대신 헤르미트/라거르 함수를 사용하여 안정성을 향상시킨다.
• 설계 행렬의 조건수를 제어하기 위해 유한 구간 내 균일 분포를 가진 랜덤 점들을 매개변수 $L$를 가진 매개변수화된 변환을 통해 무한정의 도메인으로 매핑한다.
• 특히 비표준 감쇠 속도를 가진 함수의 경우 수렴 속도를 가속화하기 위해 함수 표현식에 스케일링 인자 $\alpha$를 도입한다.
• 효율적 지원 크기 $M$을 기반으로 한 기준을 사용하여 준최적 스케일링 인자 $\alpha$를 결정한다.
• 랜덤 샘플링을 사용할 경우 수치적 조건을 개선하기 위해 점 제거 전략(식 3.33)을 구현한다.
• 고정밀도 기반 참조 해를 사용한 희소 격자 콜로케이션을 통해, 로그노말 입력을 가진 랜덤 상미분방정식과 타원형 편미분방정식 문제에 이 프레임워크를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 전통적인 헤르미트/라거르 다항식 혼합 방법은 이산 최소제곱과 랜덤 샘플링을 사용할 때 무한정의 도메인에서 실패하는가?
• RQ2 헤르미트/라거르 함수는 무한정의 도메인에서 최소제곱 근사화에서 다항식보다 더 나은 안정성을 제공할 수 있는가?
• RQ3 왜 근사 공간 차원에 대해 설계 점 수를 지수적 스케일링에서 선형 스케일링으로 줄일 수 있는가?
• RQ4 대상 함수가 기저 가우시안/감마 측도보다 빠르거나 느리게 감쇠할 경우 수렴 속도를 가속화하기 위한 효과적인 전략은 무엇인가?
• RQ5 매핑 매개변수 $L$과 스케일링 인자 $\alpha$는 안정성과 수렴 속도 제어에 어떻게 상호작용하는가?

주요 결과

• 기존의 헤르미트/라거르 다항식 혼합 방법은 최소제곱 근사에서 안정성을 유지하기 위해 $(\#\Lambda)^{c\#\Lambda}$ 비례하는 비현실적인 수의 샘플이 필요로 한다.
• 헤르미트/라거르 다항식 대신 헤르미트/라거르 함수를 사용하면 근사 공간 차원에 대해 설계 점 수가 선형적으로(로그함수 인자까지 허용하여) 증가하는 안정적 근사가 가능해진다.
• 적절한 매핑 매개변수 $L$과 함께 균일 분포 랜덤 점을 매핑함으로써 설계 행렬의 조건수가 크게 감소한다.
• 효율적 지원 크기 $M$을 기반으로 한 기준을 통해 준최적 스케일링 인자 $\alpha$를 결정할 수 있으며, 이는 특히 비가우시안 감쇠를 가진 함수에서 더 빠른 수렴을 이끈다.
• 수치 실험 결과, 선형 샘플링 규칙을 사용한 헤르미트 함수 방법은 스케일링 없이도 양호한 수렴 속도를 달성하며, 스케일링을 추가하면 성능이 더욱 향상됨을 보였다.
• 이 방법은 로그노말 입력을 가진 랜덤 상미분방정식과 타원형 편미분방정식에 성공적으로 적용되었으며, 실용적인 다변수 불확실성 정량화 문제에서 강건성과 효율성을 입증했다.