[논문 리뷰] On fractional smoothness and $L_p$-approximation on the Wiener space

Stefan Geiß, Anni Toivola|arXiv (Cornell University)|2012. 06. 23.

Stochastic processes and financial applications인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 실내삽입과 리만-리우빌 분수적 적분을 통한 실수 보간을 통해 정의되는 가우시안 베소프 공간에서의 분수적 스무쓰니스와 위너 공간 상의 함수형식의 열화확산(regularization) 사이의 연결고리를 설정한다. 이 틀을 활용하여 $2 \leq p < \infty$ 인 $L_p$-근사에서 $d$-차원 기하 브라운 운동에 대한 스토케스틱 적분의 근사 오차에 대한 새로운 스무쓰니스 추정치를 도출한다.

ABSTRACT

We consider Gaussian Besov spaces obtained by real interpolation and Riemann-Liouville operators of fractional integration on the Gaussian space and relate the fractional smoothness of a functional to the regularity of its heat extension. The results are applied to study an approximation problem in $L_p$ for $2\le p<\infty$ for stochastic integrals with respect to the $d$-dimensional (geometric) Brownian motion.

연구 동기 및 목표

• 실내삽입과 리만-리우빌 분수적 적분 연산자를 사용하여 가우시안 베소프 공간에서의 분수적 스무쓰니스를 특성화하는 것.
• 위너 공간 상의 함수형식의 스무쓰니스와 그 열화확산의 정규성 사이의 관계를 규명하는 것.
• $L_p$-근사에서 스토케스틱 적분을 분석하기 위해 스무쓰니스-정규성 대응을 적용하는 것, $2 \leq p < \infty$.

제안 방법

• $L_p$-공간 간의 실내삽입을 사용하여 위너 공간 상의 가우시안 베소프 공간을 정의한다.
• 분수적 스무쓰니스를 표현하기 위해 분수적 적분 연산자인 리만-리우빌 연산자를 적용한다.
• 함수형식의 열화확산을 분석하여 스무쓰니스 성질과 공간적 정규성 사이의 관계를 규명한다.
• 베소프 노름과 열화확산의 소볼레프 유사 정규성 사이의 통합 정리(임베딩 정리)를 수립한다.
• 수득한 정규성 추정치를 활용하여 기하 브라운 운동에 의해 구동되는 스토케스틱 적분의 $L_p$-노름에서의 근사 오차를 유계화한다.
• 스토케스틱 적분의 기초 확률 공간으로서 $d$-차원 기하 브라운 운동을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 위너 공간 상에서 리만-리우빌 분수적 적분을 통한 실내삽입을 통해 가우시안 베소프 공간에서의 분수적 스무쓰니스는 어떻게 특성화할 수 있는가?
• RQ2 함수형식의 스무쓰니스와 그 열화확산의 정규성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 함수형식의 스무쓰니스는 $2 \leq p < \infty$ 인 $L_p$-근사 오차에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 함수형식의 열화확산을 사용하여 $L_p$-노름에서의 근사 오차에 대한 정량적 유계를 도출할 수 있는가?
• RQ5 실내삽입은 위너 공간 상의 스토케스틱 적분에 관련된 스무쓰니스 클래스를 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 가우시안 베소프 공간에서의 분수적 스무쓰니스는 실내삽입과 리만-리우빌 연산자를 통해 특성화되며, 이는 함수형식의 스무쓰니스를 열화확산의 해석적 성질과 연결한다.
• 함수형식의 열화확산은 그 분수적 스무쓰니스에서 유래하는 정규성을 상속받으며, 이는 위너 공간 설정에서 소볼레프 유사 추정치의 사용을 가능하게 한다.
• $2 \leq p < \infty$ 인 경우, 스토케스틱 적분의 $L_p$-근사 오차는 피적분자의 베소프 노름에 의해 제어되며, 이는 함수형식의 스무쓰니스를 반영한다.
• 이 틀은 기하 브라운 운동에 의해 구동되는 스토케스틱 과정에 대한 $L_p$-노름에서의 근사 오차 추정에 새로운 분석 도구를 제공한다.
• 이 결과들은 분수적 스무쓰니스-정규성 대응을 위너 공간 상에서 도입함으로써 고전적 근사 이론을 스토케스틱 설정으로 확장한다.