[논문 리뷰] On genera of Lefschetz fibrations and finitely presented groups

Ryoma Kobayashi|arXiv (Cornell University)|2014. 03. 30.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 주어진 기본군을 갖는 Lefschetz fibration의 명시적 구성법을 제시하며, Korkmaz의 최소 종수에 대한 경계를 향상시킨다. 유한 생성 군이 n개의 생성자와 최대 관계 문자열 길이 ℓ을 가질 경우, g ≥ 2n + ℓ − 1 인 종수 g를 가진 Lefschetz fibration이 존재함을 증명하며, 브레인드 군, 매핑 클래스 군, 대칭 군, 아벨 군과 같은 여러 중요한 군들에 대해 날카로운 종수 경계를 확립한다.

ABSTRACT

It is known that every finitely presented group is the fundamental group of the total space of a Lefschetz fibration. In this paper, we give another proof which improves the result of Korkmaz. In addition, Korkmaz defined the genus of a finitely presented group. We also evaluate upper bounds for genera of some finitely presented groups.

연구 동기 및 목표

• 주어진 유한 생성 군을 총공간의 기본군으로 가지는 Lefschetz fibration의 새로운 명시적 구성법을 제공하는 것.
• 관계의 문자열 길이를 활용하여 Korkmaz의 결과보다 최소 종수에 대한 상한을 향상시키는 것.
• Lefschetz fibration의 종수를, 그 기본군이 주어진 유한 생성 군일 때의 최소 종수로 정의하는 것.
• 브레인드 군, 하이퍼엘리프틱 매핑 클래스 군, 대칭 군과 같은 특정 군들의 종수에 대해 날카로운 상한과 하한을 확립하는 것.
• 자유 아벨 군과 유한 순환 군의 직합에 대한 종수 경계를 확장하는 것.

제안 방법

• 표면의 매핑 클래스 군 안에서 단조성 분해를 통해 Lefschetz fibration을 구성하는 것.
• 표면 위의 곡선 체계와 Dehn 회전을 이용하여 군의 표현에 해당하는 단조성 관계를 실현하는 것.
• 기본 구성으로 W 관계(W = 1)를 사용한 후, 공액변환과 추가 Dehn 회전을 통해 수정하는 것.
• 고정된 곡선과 한 번 교차하는 곡선을 이용한 단조성 수정의 순서를 도입하여, 해당 루프가 기본군에서 자명해지도록 하는 것.
• 사라지는 곡선과 단조성 관계 t_{c1}...t_{cn} = 1을 통해 총공간의 기본군 표현을 이용하는 것.
• 제안 2.2를 적용하여, 사라지는 곡선과 한 번 교차하는 곡선이 총공간의 기본군에서 자명해지도록 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주어진 유한 생성 기본군을 가지는 Lefschetz fibration의 최소 종수는 무엇인가?
• RQ2 관계의 문자열 길이를 활용하여 주어진 유한 생성 군을 실현하기 위해 필요한 종수에 대한 상한을 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 브레인드 군, 대칭 군, 매핑 클래스 군과 같은 고전 군들의 정확한 종수 경계는 무엇인가?
• RQ4 아벨 군과 유한 군의 직합의 종수는 성분의 생성자 수와 순서에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 유한 생성 군의 종수는 잘 정의되어 있으며, 효과적으로 경계를 설정할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 유한 생성 군 Γ = ⟨g₁,…,gₙ | r₁,…,rₖ⟩이 최대 관계 문자열 길이 ℓ을 가질 경우, g ≥ 2n + ℓ − 1 인 종수 g를 가진 Lefschetz fibration이 존재하며, π₁(X) ≅ Γ이다.
• n ≥ 3 인 브레인드 군 Bₙ의 종수는 2 ≤ g(Bₙ) ≤ 4 를 만족하며, g(B₂) = 1 이다.
• 하이퍼엘리프틱 매핑 클래스 군 H_g의 종수는 g ≥ 1 일 때 2 ≤ g(H_g) ≤ 4 를 만족한다.
• n-구멍이 있는 구면의 매핑 클래스 군 M₀,ₙ의 종수는 n ≥ 3 일 때 2 ≤ g(M₀,ₙ) ≤ 4 를 만족하며, g(M₀,₂) = 2 이다.
• n ≥ 3 인 대칭 군 Sₙ의 종수는 2 ≤ g(Sₙ) ≤ 4 를 만족하며, g(S₂) = 2 이다.
• n+k ≥ 3 인 직합 ℤⁿ ⊕ ℤₘ₁ ⊕ ⋯ ⊕ ℤₘₖ 에 대해서는 (n+k+1)/2 ≤ g ≤ n+k+1 이다.