[논문 리뷰] On Geodesically Convex Formulations for the Brascamp-Lieb Constant

Nisheeth K. Vishnoi, Ozan Yildiz|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 11.

Markov Chains and Monte Carlo Methods참고 문헌 12인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정수형 행렬의 다양체에서 로그행렬식 헤시안 계량을 사용하여 브라스앰프-라이블 상수를 계산하기 위한 두 가지 새로운 지오데식적 볼록 형식을 제안한다. 두 형식 모두 지오데식적 로그볼록성을 보이며, 이는 이전의 차원에 따라 지수적으로 증가하는 문제로 인해 효율적이지 못했던 감소 방법에 비해 다항시간 내에 해결 가능한 대안을 제공한다. 이는 실현 가능한 브라스앰프-라이블 데이터에 대한 효율적인 최적화를 가능하게 한다.

ABSTRACT

We consider two non-convex formulations for computing the optimal constant in the Brascamp-Lieb inequality corresponding to a given datum, and show that they are geodesically log-concave on the manifold of positive definite matrices endowed with the Riemannian metric corresponding to the Hessian of the log-determinant function. The first formulation is present in the work of Lieb and the second is inspired by the work of Bennett et al. Recent works of Garg et al.and Allen-Zhu et al. also imply a geodesically log-concave formulation of the Brascamp-Lieb constant through a reduction to the operator scaling problem. However, the dimension of the arising optimization problem in their reduction depends exponentially on the number of bits needed to describe the Brascamp-Lieb datum. The formulations presented here have dimensions that are polynomial in the bit complexity of the input datum.

연구 동기 및 목표

• 문제 차원에 따라 지수적으로 증가하는 문제를 피하면서도 계산적으로 효율적인 브라스앰프-라이블 상수의 형식을 개발하기 위해.
• 양의 정부호 행렬의 리만 다양체 위에서 기존 및 새로운 브라스앰프-라이블 상수 형식의 지오데식 볼록성을 확립하기 위해.
• 이전에 지수적으로 증가하는 입력 비트 복잡도에 따라 작동하는 연산자 스케일링 감소 방법의 대안으로 다항식 크기의 형식을 제공하기 위해.
• 선형 사상과 양의 정부호 행렬 위에서의 기하 평균에 대한 로그행렬식 함수의 지오데식 볼록성 특성을 규명하기 위해.

제안 방법

• 리브의 가우시안 최대화자 형식을 활용하여 정수형 행렬 위의 최적화 문제로 브라스앰프-라이블 상수를 기술한다.
• 벤넷 등에 의해 영감을 얻은 두 번째 형식을 제안하며, 이는 양의 정부호 다양체 위에서 지오데식 로그볼록성을 보임을 보여준다.
• 대칭 양의 정부호 행렬 위에서 기하 평균과 양의 선형 사상 이론을 적용하여 볼록성 성질을 도출한다.
• строго한 양의 선형 사상의 로그행렬식이 지오데식적으로 볼록하다는 사실을 활용하며, Sra(2015)의 보조정리 2.8을 참조한다.
• 양의 정부호 행렬에 적용된 선형 사상들의 합의 로그행렬식의 공동 지오데식 볼록성을 확립한다.
• 행렬 부등식과 로에블러 순서를 활용하여 기하 평균을 특성화하고 선형 사상에 의한 양의 정부호성 유지 여부를 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라스앰프-라이블 상수는 정수형 행렬의 다양체 위에서 로그행렬식 헤시안 계량을 사용하여 지오데식적 볼록 최적화 문제로 표현될 수 있는가?
• RQ2 리브와 벤넷 등이 제시한 기존 형식들이 로그행렬식 헤시안 계량 하에서 지오데식 로그볼록성을 갖는가?
• RQ3 기존의 연산자 스케일링 감소에서 관찰된 지수적 차원 증가를 피할 수 있는 다항식 크기의 지오데식적 볼록 형식을 구성할 수 있는가?
• RQ4 양의 선형 사상과 기하 평균은 로그행렬식 함수의 지오데식 볼록성 확립에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 리브의 가우시안 최대화자 기반 첫 번째 형식은 로그행렬식 헤시안 계량 하에서 정수형 행렬 다양체 위에서 지오데식 로그볼록성임을 보였다.
• 벤넷 등에 의해 영감을 얻은 두 번째 형식 역시 지오데식 로그볼록성을 보이며, 다른 볼록 형식을 제공한다.
• 제안된 형식들은 이전의 감소 방법과 달리 입력 브라스앰프-라이블 자료의 비트 복잡도에 대해 다항식 크기의 차원을 갖는다.
• 양의 선형 사상의 로그행렬식의 지오데식 볼록성은 행렬 부등식과 선형 사상이 기하 평균에 미치는 영향을 통해 확립되었다.
• 양의 정부호 행렬에 적용된 선형 사상들의 합의 로그행렬식의 공동 지오데식 볼록성이 증명되었으며, 이는 효율적인 최적화를 가능하게 한다.
• 결과적으로 실현 가능한 데이터에 대해 다항시간 알고리즘으로 브라스앰프-라이블 상수를 계산할 수 있는 기초를 제공하며, 이는 이전 감소 방법에서 관찰된 지수적 증가 문제를 피한다.