[논문 리뷰] On Geometric Infinite Divisibility

E Sandhya, R. N. Pillai|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 11인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 무한히 나누어떨어지는(ID) 법칙의 기하학적 버전을 도입하고, 동일한 분포를 가진 랜덤 변수들의 기하학적 합에 대한 기하학적 수렴과 부분 기하학적 수렴의 개념을 개발한다. 기하학적 엄격하게 안정(GSS) 법칙으로 수렴하는 분포가 기하학적 버전이 반-α-라플라스 법칙의 부분 기하학적 수렴 도메인에 속해 있을 때이고, 그 조건이 성립할 때에만 기하학적 수렴이 발생함을 보여주며, 이는 기하학적 수렴과 반-α-라플라스 법칙 사이에 일대일 대응 관계를 제공한다.

ABSTRACT

The notion of geometric version of an infinitely divisible law is introduced. Concepts parallel to attraction and partial attraction are developed and studied in the setup of geometric summing of random variables.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 변수의 기하학적 합 프레임워크로 고전적 수렴 및 부분 수렴 개념을 확장하기 위해.
• 무한히 나누어떨어지는(ID) 법칙의 기하학적 버전을 정의하고, ID 법칙과 그 기하학적 버전 사이에 일대일 대응 관계를 수립하기 위해.
• 기하학적으로 엄격하게 안정(GSS) 법칙에 대한 기하학적 수렴 도메인과 부분 기하학적 수렴 도메인을 특성화하기 위해.
• ID 법칙의 기하학적 버전을 통해 부분 기하학적 수렴과 반-α-라플라스 법칙 사이의 연결 고리를 확립하기 위해.

제안 방법

• 특성 함수를 통한 ID 법칙의 기하학적 버전(g.v.) 정의: $ F $의 특성 함수가 $ \exp\{-g(t)\} $ 이면, 그 기하학적 버전 $ G $의 특성 함수는 $ 1/(1 + g(t)) $ 이다.
• 기하학적 합의 정규화를 통한 기하학적 수렴 도입: $ Y_n = B_n^{-1} \sum_{i=1}^{N_{p_n}} X_i $, 여기서 $ N_{p_n} \sim \text{Geometric}(p_n) $, $ p_n \to 0 $, $ B_n \to \infty $.
• 특성 함수 수렴을 이용하여 $ G $ 가 $ Y_n $ 의 극한 법칙임을 증명함으로써 기하학적 수렴을 확립한다.
• 부분 기하학적 수렴을 하위수열 $ \{k_n\} $ 을 통해 정의: $ Y_{k_n} \to Y $ 분포 수렴.
• 특성 함수의 渐近적 행동을 분석함으로써 부분 기하학적 수렴과 반-α-라플라스 법칙 사이의 연결 고리를 확립한다.
• Kagan 등 [4] 의 함수방정식 결과를 적용하여, 두 서로 비유리적 $ p $-값에 대해 수렴이 성립할 경우, 극한은 반드시 반-α-라플라스 법칙이어야 한다고 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무한히 나누어떨어지는 법칙의 기하학적 버전은 무엇이며, 원래의 ID 법칙과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 기하학적으로 엄격하게 안정(GSS) 법칙에 대한 기하학적 수렴 도메인을 특성화하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 부분 기하학적 수렴은 반-α-라플라스 법칙과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 분포가 반-α-라플라스 법칙으로 부분적으로 기하학적으로 수렴하는가?
• RQ5 무한히 나누어떨어지는 법칙의 기하학적 버전과 그 반-α-라플라스 법칙으로의 부분 기하학적 수렴 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 특성 함수가 $ \exp\{-g(t)\} $ 인 ID 법칙 $ F $ 의 기하학적 버전은 특성 함수가 $ 1/(1 + g(t)) $ 인 GID 법칙이며, 이는 ID 법칙과 그 기하학적 버전 사이에 일대일 대응 관계를 수립한다.
• 분포 $ F $ 가 GSS 법칙 $ G $ 로 기하학적으로 수렴하는 것은 $ F $ 가 $ G $ 의 기하학적 수렴 도메인에 속해 있을 때이고, 이는 정확히 $ B_n = p^{-n/\alpha} $, $ p_n = p^n $, 그리고 $ \log p_1 / \log p_2 $ 가 무리수일 때 성립한다.
• GSS 법칙의 기하학적 수렴 도메인에 속해 있는 데 필요한 필수 및 충분조건은 $ [1/p_n] = n $ 이며, 이는 정규화가 기하학적 합의 구조와 연결됨을 뜻한다.
• 모든 반-α-라플라스 법칙 $ G $ 에 대해, 그것으로 부분적으로 기하학적으로 수렴하는 ID 법칙이 존재하며, 이 수렴은 하위수열 $ k_n = [a^n] $, $ B_{k_n} = b^{-n} $ 을 따라 일어난다.
• ID 법칙 $ F $ 가 $ G $ 로 부분적으로 기하학적으로 수렴하고, $ k_{n+1}/k_n \to a $, $ B_{k_{n+1}}/B_{k_n} \to 1/b $ 라면, $ G $ 는 순서 $ b $ 의 반-α-라플라스 법칙이 되며, $ ab^\alpha = 1 $ 이다.
• 반-안정 법칙 $ G $ 의 기하학적 버전은 반-α-라플라스 법칙이며, ID 법칙 $ F $ 가 $ G $ 의 부분 기하학적 수렴 도메인에 속해 있을 조건은 $ F $ 의 기하학적 버전이 $ G $ 의 기하학적 버전의 부분 기하학적 수렴 도메인에 속해 있을 때이다.