[논문 리뷰] On graded $I_{e}$-prime submodules of graded modules over graded commutative rings

Shatha Alghueiri, Khaldoun Al-Zoubi|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 23.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 12인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 단일의 정규화된 아이디얼 $I = \oplus_{g \in G} I_g$를 사용하여, 정규화된 가환환 위의 정규화된 모듈에서 정규화된 소부분모듈의 일반화로, 계급화된 $I_e$-소부분모듈의 개념을 도입한다. 핵심 특성화를 수립하고, 정규화된 $I_e$-소부분모듈에 대한 등가 조건을 증명하며, 특정 조건 하에서 국소화에 대한 닫힘 성질을 증명함으로써, 동차 성분과 아이디얼 행동에 초점을 맞춘 정규화된 모듈 이론의 고전적 결과를 확장한다.

ABSTRACT

Let $G$ be a group with identity $e$. Let $R$ be a $G$-graded commutative ring with identity and $M$ a graded $R$-module. In this paper, we introduce the concept of graded $I_{e}$-prime submodule as a generalization of a graded prime submodule for $I=\oplus_{g\in G}I_{g}$ a fixed graded ideal of $R$. We give a number of results concerning of these classes of graded submodules and their homogeneous components. A proper graded submodule $N$ of $M$ is said to be a graded $I_{e}$-prime submodule of $M$ if whenever $% r_{g}\in h(R)$ and $m_{h}\in h(M)$ with $r_{g}m_{h}\in N-I_{e}N,$ then either $r_{g}\in (N:_{R}M)$ or $m_{h}\in N.$

연구 동기 및 목표

• 고정된 정규화된 아이디얼 $I = \oplus_{g \in G} I_g$를 사용하여, 정규화된 소부분모듈의 개념을 일반화하기 위해 정규화된 $I_e$-소부분모듈을 도입한다.
• 이러한 부분모듈의 구조적 성질을 연구하며, 특히 그 동차 성분과 아이디얼 $I_e$와의 상호작용에 중점을 둔다.
• 항등소거자와 $I_eN$ 내부 포함 조건을 포함한 조건을 통해 정규화된 $I_e$-소부분모듈의 특성화를 수립한다.
• 국소화 하에서 정규화된 $I_e$-소부분모듈의 행동을 연구하며, 적절한 조건 하에서 안정성을 증명한다.
• 정규화된 $I_e$-소부분모듈과 다른 일반화된 소유사 부분모듈(예: $M_g$의 $g$-Ie-소부분모듈) 간의 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 모듈 $M$의 적절한 정규화된 부분모듈 $N$이 모든 동차 $r_h \in h(R)$, $m_\lambda \in h(M)$에 대해 $r_h m_\lambda \in N - I_eN$이면 $m_\lambda \in N$ 또는 $r_h \in (N:R M)$임을 만족할 때, 정규화된 $I_e$-소부분모듈이라 정의한다.
• 다음과 같은 등가 조건을 통해 정규화된 $I_e$-소부분모듈를 특성화한다: $r_g K_h \subseteq N$ 및 $r_g K_h \not\subseteq I_e N$이면 $K_h \subseteq N$ 또는 $r_g \in (N:R M)$이다.
• 곱집합으로서 닫힌 부분집합 $S \subseteq h(R)$에 대해, 정규화된 분수환 $S^{-1}R$ 및 분수 모듈 $S^{-1}M$을 고려함으로써 국소화 기법을 사용한다.
• 만약 $N$이 정규화된 $I_e$-소부분모듈이면서 $(N:R M) \cap S = \emptyset$이면, $S^{-1}N$은 $S^{-1}M$의 정규화된 $I_e$-소부분모듈임을 증명한다.
• 역방향 결과를 수립한다: 만약 $S^{-1}N$이 정규화된 $I_e$-소부분모듈이면서 $S \cap G\text{-}\mathrm{Zdv}_R(M/N) = \emptyset$이면, $N$은 정규화된 $I_e$-소부분모듈이다.
• 곱셈 모듈에 이론을 적용하여, $m_1^g, m_2^g \in M_g$에 대해 $m_1^g m_2^g \in N_g - I_e N_g$이면, 특정 조건 하에서 $m_1^g \in N_g$ 또는 $m_2^g \in N_g$임을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 정규화된 아이디얼 $I$를 사용하여 정규화된 소부분모듈의 개념을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 항등소거자와 $I_eN$ 내부 포함 조건을 포함한 조건을 통해, 정규화된 $I_e$-소부분모듈의 정확한 특성화는 무엇인가?
• RQ3 정규화된 $I_e$-소부분모듈 $N$의 국소화 $S^{-1}N$이 다시 정규화된 $I_e$-소부분모듈이 되는 조건은 무엇인가?
• RQ4 정규화된 $I_e$-소부분모듈의 동차 성분 $N_g$는 $M_g$의 $g$-Ie-소부분모듈과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 정규화된 $I_e$-소부분모듈과 다른 일반화된 소유사 부분모듈(예: $g$-소 또는 $2$-흡수 부분모듈) 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 정규화된 소부분모듈은 정규화된 $I_e$-소부분모듈이지만, 일반적으로 그 역은 성립하지 않으며, 반례로 $R = \mathbb{Z}$, $M = \mathbb{Z}_{12}$, $I = 4\mathbb{Z}$, $N = \langle 4 \rangle$를 제시한다.
• 적절한 정규화된 부분모듈 $N$이 정규화된 $I_e$-소부분모듈이 되는 것은, 임의의 $r_g \in h(R)$ 및 $h \in G$에 대해 $r_g K_h \subseteq N$ 및 $r_g K_h \not\subseteq I_e N$이면 $K_h \subseteq N$ 또는 $r_g \in (N:R M)$임을 만족함과 동치이다. 이는 핵심적인 구조적 특성화를 제공한다.
• 만약 $N$이 $M$의 정규화된 $I_e$-소부분모듈이면서 $(N:R M) \cap S = \emptyset$이면, 국소화 $S^{-1}N$은 $S^{-1}M$의 정규화된 $I_e$-소부분모듈이다.
• 역으로, 만약 $S^{-1}N$이 정규화된 $I_e$-소부분모듈이면서 $S \cap G\text{-}\mathrm{Zdv}_R(M/N) = \emptyset$이면, $N$은 정규화된 $I_e$-소부분모듈이다. 이는 국소화 등가성을 확립한다.
• 곱셈 $Re$-모듈 $M_g$에 대해, 만약 $N_g$가 $g$-Ie-소부분모듈이면서 $(I_e N_g : Re M_g) = I_e (N_g : Re M_g)$이면, $m_1^g m_2^g \in N_g - I_e N_g$이면 $m_1^g \in N_g$ 또는 $m_2^g \in N_g$임을 보인다.
• 곱셈 모듈에서 두 정규화된 $I_e$-소부분모듈의 곱은 여전히 $I_e$-소부분모듈이다: $N_1$이 $M_1$에서 정규화된 $I_e$-소부분모듈이면, $N_1 \times M_2$는 $M_1 \times M_2$에서 정규화된 $I_e$-소부분모듈이다.