[논문 리뷰] On Graphs of Isogenies of Principally Polarizable Abelian Surfaces and the Discrete Logarithm Problem.

Dimitar Jetchev, Benjamin Wesolowski|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 01.

Coding theory and cryptography인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한체 위의 주로 극화된 일반적인 아벨 곡면에 대해 이소지 그래프를 구축하고, 일반화된 리만 가설 하에 그들의 빠른 혼합성을 증명한다. 이러한 그래프와 최근의 종수 2 이소지 계산 알고리즘을 활용하여, 최대 엔도모르피즘 링을 가진 이러한 곡면의 하위류에서 이산 로그 문제의 무작위 자기환원성을 확립한다. 또한 갈브라이스의 이소지 계산 알고리즘에서 히وري스틱을 제거하고 종수 2로 일반화한다.

ABSTRACT

We construct certain isogeny graphs of principally polarized ordinary abelian surfaces over finite fields and prove (under the Generalized Riemann Hypothesis) rapid mixing properties for these graphs. We use these graphs, together with a recent algorithm of Dudeanu, Jetchev and Robert for computing explicit isogenies in genus 2, to prove ran- dom self-reducibility of the discrete logarithm problem within the subclass of principally polarizable ordinary abelian surfaces with maximal endomorphism ring. In addition, we remove the heuristics in the complexity analysis of an algorithm of Galbraith for explicitly computing isogenies between two elliptic curves in the same isogeny class and generalize it in genus 2.

연구 동기 및 목표

• 유한체 위의 주로 극화된 일반적인 아벨 곡면에 대한 이소지 그래프의 구조와 혼합 성질을 분석한다.
• 최대 엔도모르피즘 링을 가진 주로 극화된 일반적인 아벨 곡면의 하위류에서 이산 로그 문제의 무작위 자기환원성을 증명한다.
• 타원 곡선에 대한 갈브라이스의 이소지 계산 알고리즘의 복잡도 분석에서 히وري스틱 가정을 제거한다.
• 최근의 명시적 이소지 계산 기법을 활용하여 갈브라이스의 알고리즘을 종수 2 환경으로 일반화한다.
• 아벨 곡면 기반 이소지 암호의 보안 기초를 마련한다.

제안 방법

• 유한체 위의 초특수 및 일반적인 주로 극화된 아벨 곡면을 기반으로 이소지 그래프를 구축한다.
• 일반화된 리만 가설을 적용하여 이러한 이소지 그래프 위에서의 무작위 보행의 빠른 혼합성을 증명한다.
• 종수 2에서 명시적 이소지 계산을 위한 두다누, 제치브, 로버트의 알고리즘을 통합하여 이소지 그래프의 효율적 탐색을 가능하게 한다.
• 혼합 성질과 명시적 이소지 계산을 활용하여 이산 로그 문제의 무작위 자기환원성을 입증한다.
• 히وري스틱 가정에 의존하지 않고 갈브라이스의 타원 곡선 이소지에 대한 알고리즘을 재분석하고, 종수 2로 확장한다.
• 최대 엔도모르피즘 링 조건을 활용하여 고려된 아벨 곡면의 클래스가 구조적으로 강력하고 암호학적으로 관련성이 있음을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주로 극화된 일반적인 아벨 곡면의 이소지 그래프는 일반화된 리만 가설 하에 빠른 혼합성을 보일까?
• RQ2 이러한 아벨 곡면의 유리점 군에서 이산 로그 문제는 무작위 자기환원성을 가질 수 있을까?
• RQ3 갈브라이스의 이소지 계산 알고리즘의 히وري스틱 복잡도 분석은 제거되고 엄밀한 상한으로 대체될 수 있을까?
• RQ4 갈브라이스의 타원 곡선 알고리즘은 종수 2 환경으로 얼마나 넓게 일반화될 수 있을까?
• RQ5 최대 엔도모르피즘 링을 가진 아벨 곡면의 어떤 구조적 성질이 이소지 기반 암호의 보안을 뒷받침하는가?

주요 결과

• 유한체 위의 주로 극화된 일반적인 아벨 곡면의 이소지 그래프는 일반화된 리만 가설 하에 빠른 혼합성을 보인다.
• 최대 엔도모르피즘 링을 가진 주로 극화된 일반적인 아벨 곡면의 하위류 내에서 이산 로그 문제는 무작위 자기환원성을 가진다.
• 갈브라이스의 이소지 계산 알고리즘의 복잡도 분석은 이제 히وري스틱 가정에 의존하지 않고 엄밀한 것이다.
• 갈브라이스의 알고리즘은 성공적으로 종수 2 환경으로 일반화되어, 동일한 이소지 클래스에 속하는 아벨 곡면 간의 명시적 이소지를 계산할 수 있다.
• 빠른 혼합성과 명시적 이소지 계산의 조합은 이소지 기반 시스템에서 더 강력한 암호학적 보장을 가능하게 한다.
• 최대 엔도모르피즘 링 조건은 고려된 아벨 곡면의 클래스가 구조적으로 제약을 받고 있으며 암호학적으로 관련성이 있음을 보장한다.