[논문 리뷰] On Hybrid Quantum and Classical Computing Algorithms for Mixed-Integer Programming

Chin-Yao Chang, E. D. Jones외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 15.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 혼합정수계획법(MIP)을 위한 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 제안한다. Benders 분해를 활용해 MIP 문제를 이진 변수(양자 프로세서인 D-Wave 2000Q를 통해 해결)와 연속 변수(고전적 방법으로 해결)로 분할한다. 이 방법은 전역 최적해로 수렴함을 증명할 수 있으며, 소규모 및 전력 시스템 기반 MIP 테스트 케이스에서 효과를 보였지만, 양자 노이즈와 샘플링 변동성으로 인해 제약 조건 연화 및 수렴 안정성 문제는 여전히 남아 있다.

ABSTRACT

Quantum computing is emerging as a new computing resource that could be superior to conventional computing for certain classes of optimization problems. However, in principle, most existing approaches to quantum optimization are intended to solve unconstrained binary programming problems, while mixed-integer linear programming is of most interest in practice. We attempt to bridge the gap between the capability of quantum computing and real-world applications by developing a new approach for mixed-integer programming. The approach applies Benders decomposition to decompose the mixed-integer programming into binary programming and linear programming sub-problems, which are solved by a noisy intermediate-scale quantum processor and conventional processor, respectively. The algorithm is provably able to reach the optimal solution of the original mixed-integer programming problem. The algorithm is tested on a D-Wave 2000Q quantum processing unit and is shown to be effective for small-scaled test cases. We also test the algorithm on a mixed-integer programming inspired by power system applications. Many insights are drawn from the numerical results for both the capabilities and limitations of the proposed algorithm.

연구 동기 및 목표

• 근접한 양자 컴퓨팅 능력과 실제 혼합정수계획법(MIP) 응용 간 격차를 메우기 위해.
• 에너지 시스템 및 운영 연구에서 흔한 MIP 문제를 해결하기 위해 노이즈가 많은 중규모 양자(NISQ) 프로세서를 활용하는 하이브리드 양자-고전 알고리즘을 개발하기 위해.
• 기존의 양자 최적화 방법이 주로 비제약 이진 문제에 국한되어 있음을 고려해, 혼합정수 및 제약 조건이 있는 형태로 확장하기 위해.
• 특히 전력 시스템의 단위 할당(unit commitment)에 영감을 받은 실질적인 MIP 인스턴스를 포함한 합성 및 실제 MIP 인스턴스에서 제안된 알고리즘의 타당성과 성능을 평가하기 위해.

제안 방법

• MIP 문제는 Benders 분해를 통해 주로 이진 변수를 포함하는 마스터 문제와 연속 변수를 포함하는 하위 문제로 분해되며, 이는 양자 및 고전적 처리를 별도로 가능하게 한다.
• 마스터 문제는 이차 무제약 이진 최적화(QUBO) 문제로 재구성되며, D-Wave 2000Q 양자 앤날러를 통해 해결된다.
• 하위 문제는 연속 선형 프로그래밍 문제이며, PuLP나 제약 조건 연화를 위한 페널티 기반 방법을 사용한 시뮬레이션된 난류(annealing)와 같은 고전적 솔버로 해결된다.
• 제약 조건은 이차 페널티 함수를 통해 연화되어 QUBO 설정 내에서 타당해를 허용하며, 목적 함수와 타당성 간 균형을 이루기 위해 페널티 가중치를 조정한다.
• 반복 알고리즘은 양자 프로세서에서 QUBO를 해결하고 선형 하위 문제를 해결하는 방식으로 번갈아가며, 마스터 문제를 개선하기 위해 Benders 컷을 생성한다.
• 알고리즘은 적응형 샘플링 레이트를 구현한다: $N_{\text{read}}(t) = \lfloor 80 \cdot (1.02)^t \rfloor$ 및 $N_{\text{sweep}}(t) = \lfloor 5000 \cdot (1.02)^t \rfloor$로, 반복 횟수가 증가함에 따라 증가하여 수렴성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Benders 분해 기반 하이브리드 양자-고전 알고리즘이 혼합정수계획법 문제에 대해 전역 최적해를 달성할 수 있는가?
• RQ2 D-Wave 2000Q 양자 프로세서의 성능은 MIP 하위 문제 해결에서 고전적 솔버(PuLP 등)와 비교해 어떻게 다른가?
• RQ3 특히 제약 조건 연화와 샘플링 노이즈로 인해, 양자 앤날링을 제약 조건이 있는 MIP에 적용할 때의 주요 과제는 무엇인가?
• RQ4 페널티 가중치와 샘플링 파rameter는 하이브리드 알고리즘의 수렴성과 해 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 이 알고리즘은 전력 시스템의 단위 할당에서 유래한 더 큰, 실제적인 MIP 인스턴스로 확장 가능한가?

주요 결과

• 소규모 MIP 인스턴스에 대해 하이브리드 알고리즘이 전역 최적해를 성공적으로 찾았으며, PuLP는 104단계 내에 최적해에 수렴했다.
• 시뮬레이션된 난류를 통해 양자 앤날링을 모방한 결과, 목적 함수 값 6021을 도출하여 최적값 5986보다 0.58% 높은 해를 확보했다.
• 시뮬레이션된 난류 접근법에서 제약 위반은 작은 범위 내에 유지되었지만, 정확한 타당성에 도달하지 못했으며, 이는 페널티 방법을 통한 정확한 타당성 확보의 어려움을 시사한다.
• 시뮬레이션된 난류 샘플러는 후반기 반복에서 $10^7$개 이상의 샘플이 필요하여, 개인용 랩탑에서 약 37시간이 소요되어 계산 비용이 높음을 보여주었다.
• 알고리즘 성능은 페널티 가중치 선택에 민감하며, 실험 간 전역 최적해와 근접 최적해를 명확히 구분할 수 있는 일관된 가중치 조합이 존재하지 않았다.
• 실제 양자 하드웨어에서의 런타임은 시뮬레이션된 난류보다 훨씬 빠를 것으로 예상되어, 대규모 MIP 문제에서의 양자 우월성 잠재력이 있음을 시사한다.