[논문 리뷰] On Kalton's interlaced graphs and nonlinear embeddings into dual Banach spaces

Bruno de Mendonça Braga, Gilles Lancien외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 26.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 바나흐 공간의 비선형 임베딩, 특히 캘튼의 교차 그래프와 그들이 분리 가능한 쌍대 공간으로의 코arse 임베딩을 방해하는 데서의 역할을 조사한다. 성질 Qp를 캘튼의 성질 Q의 개선으로 도입하여, 교차 그래프들이 쌍대 공간에 등가로 코어스 리프시츠 임베딩 가능할 경우, 슈레른 지수(Szlenk index)가 ω를 초과함을 증명한다. 또한 슈레른 지수가 ω²인 분리 가능한 쌍대 공간을 구성하여 그래프들이 여전히 포함됨을 보여, 이 경계가 최적임을 입증한다. 또한 c₀가 분리 가능한 쌍대 공간으로 3/2 이하의 왜곡으로 코어스 임베딩될 수 없음을 증명하고, c₀ 또는 L₁이 분리 가능한 쌍대 공간으로 약한-약한* 순차 연속적인 코어스 임베딩이 존재하지 않음을 증명한다.

ABSTRACT

We study the nonlinear embeddability of Banach spaces and the equi-embeddability of the family of Kalton's interlaced graphs $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ into dual spaces. Notably, we define and study a modification of Kalton's property $\\mathcal Q$ that we call property $\\mathcal{Q}_p$ (with $p \\in (1,+\\infty]$). We show that if $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ equi-coarse Lipschitzly embeds into $X^*$, then the Szlenk index of $X$ is greater than $\\omega$, and that this is optimal, i.e., there exists a separable dual space $Y^*$ that contains $([\\mathbb N]^k,d_{\\mathbb K})_k$ equi-Lipschitzly and so that $Y$ has Szlenk index $\\omega^2$. We prove that $c_0$ does not coarse Lipschitzly embed into a separable dual space by a map with distortion strictly smaller than $\\frac{3}{2}$. We also show that neither $c_0$ nor $L_1$ coarsely embeds into a separable dual by a weak-to-weak$^*$ sequentially continuous map.

연구 동기 및 목표

• c₀ 및 캘튼의 교차 그래프가 분리 가능한 쌍대 바나흐 공간으로 비선형적으로 임베딩 가능한지 조사하는 것.
• 약한-약한* 순차 연속성과 같은 추가적인 정규성 조건 하에서 분리 가능한 쌍대 공간으로의 코어스 임베딩이 가능한지 여부를 규명하는 것.
• 교차 그래프의 등가 코어스 리프시츠 임베딩과 쌍대 공간의 슈레른 지수 사이의 관계를 분석하는 것.
• c₀가 분리 가능한 쌍대 공간으로 코어스 리프시츠 임베딩 가능한 경우의 날카로운 왜곡 경계를 설정하는 것.

제안 방법

• p ∈ (1, ∞]에 대해 캘튼의 성질 Q의 개선으로서, 리프시츠 함수에 대해 k^{1/p} 비례하는 농도 불등식을 통한 정의를 통한 새로운 성질 Qp를 도입하고 연구하는 것.
• 만약 쌍대 공간이 등가로 q-AUC* 쌍대 노름(q는 p의 코어스포지트)을 가진다면, 그 공간은 성질 Qp를 가짐을 증명하여 기하학적 바나흐 공간 성질과 비선형 임베딩을 연결하는 것.
• 슈레른 지수를 쌍대 비분리성의 정량적 측도로 사용하여, 교차 그래프들이 등가로 코어스 리프시츠로 임베딩 가능할 경우 슈레른 지수 Sz(X) > ω임을 보이는 것.
• 스즈렌 지수가 ω²인 분리 가능한 쌍대 공간 X∗를 구성하여, 여전히 전체 교차 그래프 ([N]<ω, dK)가 리프시츠 임베딩 가능함을 보여, 슈레른 지수 장벽의 날카로움을 입증하는 것.
• 만약 c₀가 왜곡이 3/2보다 작게 쌍대 공간 X∗로 코어스 리프시츠 임베딩 가능하다면, X가 ℓ₁의 등장하는 복사본을 포함해야 한다는 것을 증명하는 것.
• 약한-약한* 순차 연속성과 점 연속성 성질(PCP)을 사용하여, c₀ 및 L₁이 분리 가능한 쌍대 공간으로 코어스 임베딩이 불가능함을 보이며, 단위 구내에서 약한 수렴은 하지만 노름 수렴이 아닌 수열을 구성하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 c₀가 왜곡이 3/2보다 작게 분리 가능한 쌍대 바나흐 공간으로 코어스 리프시츠 맵을 통해 임베딩될 수 있는가?
• RQ2 c₀가 바나흐 공간 X로 코어스 임베딩 가능하다면, X^{(n)}이 비분리가 되는 자연수 n ∈ ℕ가 항상 존재하는가?
• RQ3 캘튼의 교차 그래프 (([N]k, dK))k 가 쌍대 공간 X∗로 등가 코어스 리프시츠로 임베딩 가능하다면, 슈레른 지수 Sz(X)가 ω를 초과하는가?
• RQ4 c₀ 또는 L₁이 약한-약한* 순차 연속적인 맵을 통해 분리 가능한 쌍대 공간으로 코어스 임베딩 가능할 수 있는가?
• RQ5 성질 Qp와 쌍대 공간에서의 점근적 균일 볼록성 사이의 날카로운 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 만약 캘튼의 교차 그래프의 가족 (([N]k, dK))k 가 X∗로 등가 코어스 리프시츠로 임베딩 가능하다면, X의 슈레른 지수는 Sz(X) > ω를 만족한다.
• 이 경계 Sz(X) > ω는 최적이다. 왜냐하면 슈레른 지수가 ω²인 분리 가능한 쌍대 공간 X∗가 존재하여 여전히 교차 그래프 ([N]<ω, dK)가 리프시츠 임베딩 가능하기 때문이다.
• c₀는 왜곡이 3/2보다 작게 분리 가능한 쌍대 공간으로 코어스 리프시츠 임베딩될 수 없다. 만약 그러한 임베딩이 존재한다면, X는 ℓ₁의 등장하는 복사본을 포함해야 한다.
• c₀ 또는 L₁은 약한-약한* 순차 연속적인 맵을 통해 분리 가능한 쌍대 공간으로 코어스(또는 균일) 임베딩될 수 없다.
• 약한-약한* 순차 연속적인 코어스 임베딩이 분리 가능한 쌍대 공간으로 존재한다면, 그 기초 공간은 점 연속성 성질(PCP)을 상실해야 하며, c₀ 및 L₁은 이러한 성질을 만족하지 않는다.
• 성질 Qp는 코어스 리프시츠 불변이며, 만약 쌍대 공간이 등가로 q-AUC* 쌍대 노름(q는 p의 코어스포지트)을 가진다면, 그 공간은 성질 Qp를 가진다.