[논문 리뷰] On Kirchhoff type equations with critical Sobolev exponent and Naimen's open problems

Yisheng Huang, Zeng Liu외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 07. 19.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 네 차원 유계 영역에서 임계 스обอ레프 지수를 갖는 킬로프형 방정식을 다루며, 다양한 매개수에 따라 해의 존재성과 비존재성을 연구한다. 변분 방법과 섭동 기법을 사용하여, 불확정적 경우(λ ≥ aλ₁)에 대한 새로운 존재성 결과를 확립하고, 점점 가까워지는 행동을 특성화하여, 나임엔이 제기한 매개수에 의존하는 해 구조와 컴팩트성 문제에 대한 열린 문제를 해결한다.

ABSTRACT

We study the following Brezis-Nirenberg problem of Kirchhoff type $$ \left\{\aligned &-(a+b\int_Ω| abla u|^2dx)Δu = λ|u|^{q-2}u + δ|u|^{2}u, &\quad ext{in}\ Ω, \\ &u=0,& ext{on}\ \partialΩ, \endaligned ight. $$ where $Ω\subset \bbr^4$ is a bounded domain with the smooth boundary $\partialΩ$, $2\leq q<4$ and $a$, $b$, $λ$, $δ$ are positive parameters. We obtain some new existence and nonexistence results, depending on the values of the above parameters, which improves some known results. The asymptotical behaviors of the solutions are also considered in this paper.

연구 동기 및 목표

• 네 차원에서 임계 비선형성을 갖는 킬로프형 방정식에 대한 해의 존재성과 점점 가까워지는 행동에 관한 열린 질문을 해결한다.
• 연산자 −aΔ − λ이 정정적이지 않은 불확정적 경우 λ ≥ aλ₁를 분석하여, 컴팩트성과 팔라이스-스무스 수열의 유계성 문제를 극복한다.
• b, δ, λ 매개수들이 해의 존재성에 미치는 영향을 명확히 하며, 특히 b𝒮² ≤ δ 또는 b𝒮² < δ일 경우를 다룬다.
• 임계 지수를 갖는 비국소 킬로프 설정으로 기존의 브레지스-니레베르크 문제 결과를 확장한다.
• 산봉우리 길이와 고유값 분석을 통해 특정 매개수 영역에서 다수의 해 존재성을 확립한다.

제안 방법

• H₀¹(Ω)에서 정의된 에너지 함수 I_b(u) = (a/2)‖u‖² + (b/4)‖u‖⁴ − (δ/4)‖u‖₄⁴ − (λ/q)‖u‖_q^q를 연구하기 위해 변분 방법을 사용한다.
• b → 0⁺로 갈 때의 극한을 분석하기 위해 섭동 기법을 사용하며, 고전적 브레지스-니레베르크 문제와 연결한다.
• H₀¹(Ω) ↪ L⁴(Ω)의 컴팩트 임bedding과 스오브레프 상수를 사용하여 유계 조건 하에서 (PS)_c 조건을 검증한다.
• 함수 f(t) = I_b(tu)와 그 도함수 f’(t)를 분석함으로써 팔라이스-스무스 수열에 대한 사전 유계를 유도한다.
• −(a + b‖∇u‖²)Δu = λu 형태의 고유값 문제를 연구하여 해의 구조와 기저 상태 해를 특성화한다.
• 에너지 함수가 강력하고 아래로 유계일 경우, 에클란드의 변분 원리를 적용하여 임계점을 찾는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 λ ≥ aλ₁일 때, 특히 불확정적 경우에 킬로프형 방정식의 해 집합은 어떻게 되는가?
• RQ2 b, δ, λ 매개수가 임계 지수 설정에서 해의 존재성과 다중성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 b → 0⁺ 또는 δ → b𝒮²일 때 해의 점점 가까워지는 행동은 무엇인가?
• RQ4 유계 조건 하에서 I_b 기능이 (PS)_c 조건을 만족하는가? 이는 컴팩트성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 δ < b𝒮² 또는 δ = b𝒮²일 때 어떤 조건에서 방정식이 다수의 비자명한 해를 갖는가?

주요 결과

• λ ∈ (aλ₁, aλ₂]일 때, 고유값 문제 (1.4)는 유일한 양의 기저 상태 해 u = √[(λ − aλ₁)/(bλ₁²)] φ₁₁를 갖는다.
• k ≥ 2이면 λ ∈ (aλₖ, aλₖ₊₁]일 때 Eq. (1.4)는 유일한 양의 기저 상태 해와 ψⱼ ∈ M(λⱼ)에 대해 u̅ⱼ = √[(λ − aλⱼ)/(bλⱼ²)] ψⱼ 형태의 부호가 변화하는 해를 갖는다.
• 0 < δ < b𝒮²일 때, 기능 I_b는 강력하고 아래로 유계이므로 에클란드 원리에 의해 적어도 하나의 비자명한 해가 존재한다.
• 작은 b > 0에 대해 방정식은 최소 두 개의 서로 다른 비자명한 해를 갖는다: 하나는 I_b의 최소값에서 유도되고, 다른 하나는 산봉우리 길이 정리에 의해 유도된다.
• (PS) 수열이 유계이면, I_b 기능은 모든 c ∈ ℝ에 대해 (PS)_c 조건을 만족한다. 이는 컴팩트 임베딩과 스오브레프 부등식을 통해 확립된다.
• b𝒮² < δ일 경우, 함수 f(t) = I_b(tu)는 모든 t > 0에 대해 f’(t) ≥ 0를 만족한다. 이는 f(1) = 0과 f(0) = 0이면 모순이 발생하므로, 특정 매개수 조건 하에서는 해가 존재하지 않음을 의미한다.