[논문 리뷰] On lacunary statistically quasi-Cauchy sequences

Hüseyi̇n Çakallı, Çiğdem Gündüz Aras외 1명|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 08.

Approximation Theory and Sequence Spaces참고 문헌 22인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 실함수에 대한 빈자리 통계적 워드 연속성이라는 새로운 개념을 도입하고 조사하며, ℝ의 빈자리 통계적 워드 컴 pact 부분집합에서의 이러한 연속성이 균일 연속성을 함의한다는 것을 증명한다. 주요 기여는 균일 연속성을 빈자리 통계적 준-코시 수열의 보존을 통한 특성화로, 이는 통계적 및 빈자리 통계적 맥락에서의 이전 결과들을 확장한다.

ABSTRACT

The main object of this paper is to investigate lacunary statistically ward continuity. We obtain some relations between this kind of continuity and some other kinds of continuities. It turns out that any lacunary statistically ward continuous real valued function on a lacunary statistically ward compact subset $E\subset{ extbf{R}}$ is uniformly continuous.

연구 동기 및 목표

• 빈자리 통계적 워드 연속성이라는 새로운 순차 연속성 형태를 정의하고 조사하기.
• 워드, 천천히 진동하는, 그리고 Nθ-워드 연속성과 같은 다른 유형의 순차 연속성과의 관계를 탐색하기.
• 빈자리 통계적 워드 연속성이 균일 연속성을 함의하는 조건을 설정하기.
• 균일 연속성을 빈자리 통계적 준-코시 수열의 보존을 통해 특성화하기.
• 통계적 및 빈자리 통계적 프레임워크에서의 순차 컴팩트성과 연속성에 관한 기존 결과를 확장하기.

제안 방법

• 차분 수열 Δαₙ의 빈자리 통계적 극한을 사용하여 빈자리 통계적 준-코시 수열의 개념을 도입한다.
• 함수 f가 빈자리 통계적 준-코시 수열을 보존하면, 실함수 f를 빈자리 통계적 워드 연속으로 정의한다.
• 구성적 보조정리를 활용하여, 임의로 작은 거리의 점 쌍에서 시작하여 빈자리 통계적 준-코시 수열을 구성한다.
• 모순에 의한 증명: 균일 연속성이 아닐 경우, 이미지가 빈자리 통계적 준-코시 수열이 되지 않는 빈자리 통계적 준-코시 수열이 존재함을 보인다.
• 특히 준-코시 수열과 균일 연속성 간의 관계를 연결하는 통계적 및 Nθ수렴 이론의 기존 결과에 기반한다.
• 이전 문헌의 정리들(예: [9], [28])을 적용하여 다양한 유형의 순차 연속성 간의 동치성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 빈자리 통계적 워드 연속성이 언제 균일 연속성을 함의하는가?
• RQ2 빈자리 통계적 워드 연속성은 워드, 천천히 진동하는, 그리고 Nθ-워드 연속성과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 균일 연속성은 빈자리 통계적 준-코시 수열의 보존을 통해 특성화될 수 있는가?
• RQ4 빈자리 통계적 워드 컴팩트성과 균일 연속성 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 빈자리 통계적 워드 연속 함수의 집합은 균일 수렴에 대해 닫혀 있는가?

주요 결과

• ℝ의 빈자리 통계적 워드 컴팩트 부분집합에서 빈자리 통계적 워드 연속성을 갖는 임의의 실수 함수는 균일 연속이다.
• 함수 f가 구간 E에서 균일 연속임과 동시에 E 내의 모든 준-코시 수열을 빈자리 통계적 준-코시 수열로 보낸다는 것과 동치이다.
• 빈자리 통계적 워드 연속성은 워드 연속성과 천천히 진동하는 연속성을 모두 함의한다.
• 빈자리 통계적 워드 연속 함수에 의해 빈자리 통계적 준-코시 수열의 이미지는 역시 빈자리 통계적 준-코시 수열이다.
• E ⊂ ℝ의 부분집합에서 모든 빈자리 통계적 워드 연속 함수의 집합은 E에서의 모든 연속 함수 공간의 닫힌 부분집합이다.
• 빈자리 통계적 워드 연속 함수의 수열의 균일한 극한은 스스로 빈자리 통계적 워드 연속 함수이다.