[논문 리뷰] On linear groups over weakly locally finite division rings

Bui Xuan Hai, Mai Hoang Bien외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 20.

Rings, Modules, and Algebras참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성 부분환들이 중심적으로 유한한 유한 생성 부분환을 갖는 국소 유한 나눗셈환의 일반화인 약한 국소 유한 나눗셈환을 도입한다. 비가환, 대수적 약한 국소 유한 나눗셈환에서 선형군 $GL_n(D)$ 및 $SL_n(D)$는 유한 생성이 아니며, 도함수군의 중심은 토크션임을 증명하며, 중심적으로 유한한 경우에 알려진 결과들을 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, we give the definition of {\em weakly locally finite} division rings and we show that the class of these rings strictly contains the class of locally finite division rings. Further, we study multiplicative subgroups in these rings. Some skew linear groups are also considered. Our new obtained results generalize previous results for centrally finite case.

연구 동기 및 목표

• 약한 국소 유한 나눗셈환을 정의하고 특성화하는 것, 이는 국소 유한 나눗셈환의 일반화이다.
• 특히 대수적 경우에서 이러한 링 위의 곱셈 부분군과 선형군을 조사하는 것.
• 중심적으로 유한한 나눗셈환에서의 선형군에 대한 기존 결과를 약한 국소 유한 나눗셈환의 더 넓은 범주로 일반화하는 것.
• 헤르스타인의 추측을 약한 국소 유한 나눗셈환의 맥락에서 해결하는 것.
• 특히 비가환 대수적 경우에서 $GL_n(D)$ 및 $SL_n(D)$의 구조적 제약 조건을 설정하여, 이들이 유한 생성될 수 없음을 보이는 것.

제안 방법

• 모든 유한 생성 부분환들이 중심적으로 유한한 링으로서 약한 국소 유한 나눗셈환을 정의한다.
• 무한한 제곱근을 갖는 체 위에서의 말체프-뉴먼 유형 로랑 급수 구성법을 사용하여 비대수적 약한 국소 유한 나눗셈환을 구성한다.
• 갈루아 군 작용과 자기동형사를 이용하여 링의 구조를 정의하고 약한 국소 유한성을 검증한다.
• 유한 체 위에서 대수적인 나눗셈환에 대한 자크브슨의 정리를 적용하여 특정 경우에서의 가환성을 도출한다.
• 도함수군 $D'$의 중심과 선형군 내의 토크션 원소 간의 관계를 분석한다.
• 아벨화와 유한 생성을 다루는 군론적 추론을 통해, 유한 생성 가정 하에 모순을 이끌어내는 방법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소 유한, 중심적으로 유한, 약한 국소 유한 나눗셈환 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ2 약한 국소 유한 나눗셈환이 대수적이지 않을 수 있으며, 만약 그렇다면 이러한 링을 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 약한 국소 유한 나눗셈환 $D$에 대해 $GL_n(D)$ 또는 $SL_n(D)$가 어떤 조건에서 유한 생성이 가능한가?
• RQ4 약한 국소 유한 나눗셈환에서 도함수군 $D'$의 중심은 오직 토크션 원소로만 이루어져 있는가?
• RQ5 중심적으로 유한한 나눗셈환에서의 선형군에 대한 결과들이 약한 국소 유한 설정으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 대수적이지 않은 약한 국소 유한 나눗셈환이 존재함을 보여, 약한 국소 유한 나눗셈환의 범주는 국소 유한 나눗셈환의 범주를 진정으로 포함한다.
• 모든 국소 유한 나눗셈환은 약한 국소 유한이지만, 그 역은 성립하지 않으며, 구성된 예시로 이를 입증한다.
• 비가환, 대수적, 약한 국소 유한 나눗셈환에서, 모든 $n \geq 1$ 에 대해 군 $GL_n(D)$ 는 유한 생성이 아니다.
• 약한 국소 유한 나눗셈환에서 도함수군 $D'$의 중심은 토크션 군이다.
• $GL_n(D)$ 가 $n \geq 1$ 에 대해 유한 생성이라면, $D$ 는 반드시 가환여야 한다.
• 동일한 대수적 및 약한 국소 유한 조건 하에서, $GL_n(D)$ 의 최대 유한 생성 부분군이 존재하면 $D$ 는 가환여야 한다.