[논문 리뷰] On local analytic expansions of densities in the context of (micro-)hypoelliptic and classes of semi-elliptic equations

Joerg Kampen|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 02.

Advanced Mathematical Modeling in Engineering참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 허스턴 유형 모델과 미국형 옵션 가격 설정에서 나타나는 (마이크로)-초타원형 및 준타원형 편미분방정식과 같은, 엄밀히 타원형 연산자 이외의 경우로의 국소 해석적 전이 밀도 전개를 확장하기 위해 기본해 표현과 반복적 방법을 활용하여, 파라볼릭 편미분방정식의 일군의 클래스에 대해 국소 해석적 전이 밀도 전개를 개발한다. 이를 통해 금융 모델링 맥락에서 정확도가 향상된 고차수 수치적 방법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Explicit representations of densities for linear parabolic partial differential equations are useful in order to design computation schemes of high accuracy for a considerable class of diffusion models. Approximations of lower order based on the WKB-expansion have been used in order to compute Greeks in standard models of the interest rate market (cf. [2]). However, it turns out that for higher order approximations another related expansion leads to more accurate schemes. We compute a local explicit formula for a class of parabolic problems and determine a lower bound of the time horizon where it holds (given a certain bounded domain). Although the local analytic expansions hold only for strictly elliptic equations we show that the expansions can be used in order to design higher order schemes for various types of (micro)-hypoelliptic and semi-elliptic equations, e.g. the reduced market models considered in [7] or front fixing schemes for multivariate American derivatives [3].

연구 동기 및 목표

• 엄밀히 타원형에서 (마이크로)-초타원형 및 준타원형 파라볼릭 PDE로 국소 해석적 전이 밀도 전개를 확장하기 위해.
• 유계 영역 내에서 이러한 국소 전개가 유효한 최소 시간 영역을 엄밀히 추정하기 위해.
• 수학적 금융의 확산 모델에 대해 고정밀 수치적 방법에 활용할 수 있도록 이러한 전개를 적응시키기 위해.
• 미국형 옵션 가격 설정과 같은 자유 경계 문제에 대한 반복적 방법의 수렴성과 정칙성을 확립하기 위해.
• 하나의 낮은 차원 부분공간에서 허르망더 조건을 만족하는 연산자로 엄밀히 타원형 연산자에 대한 수렴 결과를 일반화하기 위해.

제안 방법

• 엄밀히 타원형 방정식에 대해 다음과 같은 형태의 명시적 국소 해석적 전개를 유도한다: $ p(t,x;0,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{d_R^2(x,y)}{4t}\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} d_k(x,y) t^k\right) $.
• 시간에 따라 변하는 리만 거리 $ d_R^2(t,x,y) $ 를 이용해 비시간균일한 경우로 전개를 일반화한다.
• 자유 경계 함수 $ F $ 에 따라 계수가 결정되는 일련의 파라볼릭 PDE를 푸는 반복적 방법 $ v^n $ 을 구성한다.
• 변수 계수를 가진 선형 파라볼릭 연산자의 기본해 $ p_{v^n} $ 를 포함하는 커피 convolution 표현을 사용한다.
• 경계 조건을 초평면 $ \{x_1 = 1\} $ 에서 $ v^n_{x_1} - v^n = -tK $ 를 통해 도입하여 자유 경계 조건과의 일致성을 확보한다.
• 초기 조건과 경계 제약 조건으로부터 유도된 강제항 $ \Gamma_{v_n} $ 를 포함하는 적분방정식을 통해 경계 소스 항 $ \phi_{v^n} $ 를 구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄밀히 타원형 방정식에 대한 국소 해석적 밀도 전개가 금융 모델에서 흔히 나타나는 (마이크로)-초타원형 및 준타원형 PDE로 확장 가능한가?
• RQ2 유계 영역 내에서 이러한 국소 전개가 유효한 최대 시간 영역은 무엇인가?
• RQ3 이러한 전개를 어떻게 활용하여 미국형 옵션 가격 설정과 축소된 시장 모델에 대해 고차수 수치적 방법을 설계할 수 있는가?
• RQ4 마이크로-초타원형 연산자 맥락에서 자유 경계 문제에 대한 반복적 방법이 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 엄밀히 타원형 연산자에 대한 정칙성 및 수렴 결과를, 낮은 차원 부분공간에서 허르망더 조건을 만족하는 연산자로 얼마나 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 형태 $ p(t,x;0,y) = \frac{1}{(4\pi t)^{n/2}} \exp\left(-\frac{d_R^2(x,y)}{4t}\right) \left(\sum_{k=0}^{\infty} d_k(x,y) t^k\right) $ 의 국소 해석적 전개는 엄밀히 타원형 방정식에 대해 유효하며, 고차수 근사의 기초를 제공한다.
• 하나의 차원 $ d \leq n $ 인 부분공간에서 허르망더 조건을 만족할 경우, 반복적 방법 $ v^n $ 을 구성함으로써 전개를 (마이크로)-초타원형 방정식으로 확장한다.
• 국소 전개의 유효성에 대한 시간 영역은 아래에서 유계이므로, 반복적 방법에 대해 적응된 바나흐 공간에서의 수렴성을 보장한다.
• 형태 $ L = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^m A_i^2 u + A_0 u $ 의 마이크로-초타원형 연산자에 대해 수렴성과 정칙성이 확립되며, 이때 벡터장 $ A_i $ 는 $ \mathbb{R}^d \subset \mathbb{R}^n $ 에서 허르망더 조건을 만족한다.
• 이 방법은 허스턴 모델과 미국형 옵션의 프론트-픽싱 방법과 같은 모델에서 그릭스와 가치 함수의 고정밀 계산을 가능하게 한다.
• 점근적 분석을 통해 $ t \downarrow 0 $ 일 때 $ \sqrt{t} F_t $ 가 유계임을 확인하여, 초기 시간 근처에서 반복적 방법의 안정성을 뒷받침한다.