[논문 리뷰] On Malliavin's differentiability of BSDE with time delayed generators driven by Brownian motions and Poisson random measures

Łukasz Delong, Peter Imkeller|arXiv (Cornell University)|2010. 05. 25.

Stochastic processes and financial applications인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 시간 지연 생성자(time-delayed generators)를 가진 후행 확률 미분 방정식(Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs)의 해가 존재하고 유일하며, Malliavin 미분 가능하다는 것을 확립한다. 이는 제어 과정 (Z, U)가 해 Y의 Malliavin 도수의 예측 가능 프로젝션( predictable projections)과 대응됨을 증명하며, 전통적인 클락-옥슨 유형의 관계를 지연 동역학으로 확장한다.

ABSTRACT

We investigate solutions of backward stochastic differential equations (BSDE) with time delayed generators driven by Brownian motions and Poisson random measures, that constitute the two components of a Levy process. In this new type of equations, the generator can depend on the past values of a solution, by feeding them back into the dynamics with a time lag. For such time delayed BSDE, we prove existence and uniqueness of solutions provided we restrict on a sufficiently small time horizon or the generator possesses a sufficiently small Lipschitz constant. We study differentiability in the variational or Malliavin sense and derive equations that are satisfied by the Malliavin gradient processes. On the chosen stochastic basis this addresses smoothness both with respect to the continuous part of our Levy process in terms of the classical Malliavin derivative for Hilbert space valued random variables, as well as with respect to the pure jump component for which it takes the form of an increment quotient operator related to the Picard difference operator.

연구 동기 및 목표

• 시간 지연 생성자를 가진 후행 확률 미분 방정식(Backward Stochastic Differential Equations, BSDEs)이 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도로 구성된 레비 과정에 의해 구동될 때 해의 존재성과 유일성을 조사하는 것.
• 레비 과정의 연속적(브라운 운동) 및 순수 점프(포아송) 성분에 대한 해의 Malliavin 미분 가능성을 확립하는 것.
• Malliavin 기울기 과정의 구조를 도출하고, 제어 성분 (Z, U)가 해 Y의 Malliavin 도수의 예측 가능 프로젝션과 일치함을 검증하는 것.
• 기존의 비지연 BSDE에 대한 고전 결과—특히 클락-옥슨 표현식—을 시간 지연 생성자로 확장하는 것.
• 지연 동역학을 포함하는 확률적 제어 및 금융 수학에서 민감도 분석과 수치적 방법의 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 유한한 시간 간격 [−T, 0] 동안 해 (Y_s, Z_s, U_s)의 과거 값에 의존하는 시간 지연 생성자 f를 갖는 BSDE를 수립한다.
• 적절한 L² 공간에서 해의 존재성과 유일성을 보장하기 위해 충분히 작은 시간 간격 또는 작은 리프시츠 상수 조건 하에서 고정점 원리를 적용한다.
• 레비 과정을 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도의 조합으로 모델링하기 위해 캐논컬 레비 공간 프레임워크를 사용한다.
• 브라운 성분에 대한 Malliavin 도수를 고전적인 힐버트 공간 값의 Malliavin 도수로 정의하고, 점프 성분에 대해서는 피카르 차분 연산자(increment quotient operator)를 통해 정의한다.
• 원래 BSDE에 도수 연산자를 적용하여 Malliavin 기울기 과정 (D_{s,z}Y, D_{s,z}Z, D_{s,z}U)에 대한 전진-후행 SDE 시스템을 유도한다.
• 핵심 결과로, 거의 모든 (t,z)에 대해 (D_{t,0}Y)^P = Z(t) 및 (D_{t,z}Y)^P = U(t,z)임을 증명하여, Malliavin 도수의 예측 가능 프로젝션은 제어 성분을 복원함을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운 운동과 포아송 랜덤 측도에 의해 구동되는 시간 지연 생성자를 가진 후행 확률 미분 방정식이 어떤 조건에서 유일한 해를 갖는가?
• RQ2 레비 과정의 연속적 및 점프 성분에 대해 해의 Malliavin 도수는 어떻게 특징지을 수 있는가?
• RQ3 기존의 제어 과정 (Z, U)과 해 Y의 Malliavin 추적 사이의 고전적 관계는 시간 지연 생성자로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 이러한 BSDE의 Malliavin 기울기 과정의 구조는 무엇이며, 생성자의 지연된 의존성과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 해 Y의 Malliavin 도수의 예측 가능 프로젝션은 지연된 설정에서 제어 과정 Z와 U를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 시간 간격이 충분히 작거나 생성자의 리프시츠 상수가 충분히 작을 경우 시간 지연 BSDE에 대해 유일한 해가 존재한다.
• 해 (Y, Z, U)는 L^{1,2}(R) × L^{1,2}(R) × L^{1,2}(R) 공간에 속해 있으며, 이는 브라운 운동 및 점프 성분에 대한 Malliavin 미분 가능성을 확인한다.
• Malliavin 도수 과정 (D_{s,z}Y, D_{s,z}Z, D_{s,z}U)는 원래 BSDE에 도수 연산자를 적용함으로써 도출된 전진 SDE 시스템을 만족한다.
• 제어 성분 (Z, U)는 해 Y의 Malliavin 도수의 예측 가능 프로젝션과 일치한다: 거의 모든 (t,z)에 대해 (D_{t,0}Y)^P = Z(t) 및 (D_{t,z}Y)^P = U(t,z).
• 고전적인 클락-옥슨 유형의 관계—즉, 제어와 해 Y의 Malliavin 추적 사이의 관계—는 시간 지연 설정에서도 유지된다.
• 기존의 점프를 포함하는 비지연 BSDE에 대한 결과를 확장하며, 기억 효과를 포함하는 금융 응용 분야의 민감도 분석과 수치적 방법의 기초를 제공한다.