[논문 리뷰] On modular semifinite index theory

Jens Kaad|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 28.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가중치와 von Neumann 대수에서의 추적을 사용하여 반유한 상태에서의 비모듈러 스펙트럴 트리플을 일반화하는 새로운 프레임워크를 제안한다. 이는 KMS 상태와 양자군을 포함하는 휨진 스펙트럴 트리플의 일반화이다. 두 개의 관련 추적을 사용하여 휨진 인덱스 페어링을 정의하고, 양자 SU(2)에서의 감소된 카라테오도리 특성에 대한 국소 공식을 증명하며, 반유한 von Neumann 대수에서의 가중치에 대해 유도된 $L^p$-공간을 구축한다.

ABSTRACT

We propose a definition of a modular spectral triple which covers existing examples arising from KMS-states, Podles sphere and quantum SU(2). The definition also incorporates the notion of twisted commutators appearing in recent work of Connes and Moscovici. We show how a finitely summable modular spectral triple admits a twisted index pairing with unitaries satisfying a modular condition. The twist means that the dimensions of kernels and cokernels are measured with respect to two different but intimately related traces. The twisted index pairing can be expressed by pairing Chern characters in reduced versions of twisted cyclic theories. We end the paper by giving a local formula for the reduced Chern character in the case of quantum SU(2). It appears as a twisted coboundary of the Haar-state. In particular we present an explicit computation of the twisted index pairing arising from the sequence of corepresentation unitaries. As an important tool we construct a family of derived integration spaces associated with a weight and a trace on a semifinite von Neumann algebra.

연구 동기 및 목표

• von Neumann 대수에서의 가중치와 추적을 사용하여 휨진 스펙트럴 트리플을 반유한 설정으로 일반화한다.
• 핵심과 코어널의 차원이 두 개의 관련 추적에 대해 측정되는 휨진 인덱스 페어링을 정의한다.
• 모듈러 프레드홀름 모듈러스에 대한 감소된 휨진 순환 이론에서 카라테오도리 특성을 구축한다.
• 양자 SU(2)의 경우 감소된 카라테오도리 특성에 대한 국소 공식을 제공하고, 이것이 하르 상태의 휨진 코바운더리임을 보여준다.
• KMS 상태, PodleÑés 구, 양자 SU(2)의 알려진 예를 하나의 모듈러 프레임워크 아래 통합한다.

제안 방법

• 반유한 von Neumann 대수에서의 가중치 $\phi$와 자동형사슬의 고정점 대수에 연관된 디랙 연산자에 기반한 모듈러 스펙트럴 트리플을 정의한다.
• 반유한 von Neumann 대수에서의 가중치와 추적에 관련된 유도된 통합 공간(유도된 $L^p$-공간)을 도입한다.
• 모듈러 프레드홀름 모듈러스와 그 카라테오도리 특성을 정의하기 위해 $\theta = \sigma_{-i}$인 휨진 교환자 $[D', x]_{\theta}$를 사용한다.
• 감소된 휨진 순환 코hom로에서 카라테오도리 특성의 페어링을 통해 휨진 인덱스 페어링을 표현한다.
• 양자 SU(2)의 경우 감소된 카라테오도리 특성을 구축하고, 이것이 하르 상태의 휨진 코바운더리로 나타남을 보여준다.
• 핵심표현 유니터리에 대해 이 프레임워크를 적용하여 양자 SU(2)에서의 휨진 인덱스 페어링을 명시적으로 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가중치를 추적 대신 사용하여 반유한 설정에서 휨진 교환자와 인덱스 페어링을 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ2 모듈러 자동형사슬 $\sigma_t$는 비유한 해석 연산자에 대한 일관된 인덱스 이론을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 모듈러 스펙트럴 트리플의 카라테오도리 특성은 어떻게 휨진 순환 코hom로로 표현될 수 있으며, 감소된 이론과의 관계는 무엇인가?
• RQ4 양자 SU(2)에서 카라테오도리 특성에 대한 국소 공식은 하르 상태의 휨진 코바운더리로 어떻게 나타나는가?
• RQ5 기존의 예들—KMS 상태, PodleÑés 구, 양자 SU(2)—는 어느 정도까지 하나의 통합된 모듈러 스펙트럴 트리플 프레임워크에 통합될 수 있는가?

주요 결과

• 유한 합성 가능한 모듈러 스펙트럴 트리플에 대해 휨진 인덱스 페어링은 잘 정의되어 있으며, 핵심과 코어널 차원이 두 개의 관련 추적에 의해 측정된다.
• 양자 SU(2)에서의 모듈러 유니터리의 감소된 카라테오도리 특성이 하르 상태의 휨진 코바운더리임을 보여주며, 공식 $\textup{Ch}_{φ}(u^l) = b_{\sigma_i}([u^l] \otimes_{M_k(\mathbb{C})} [(u^l)^*])$를 통해 명시적으로 계산된다.
• 양자 SU(2)의 경우, 핵심표현 유니터리와의 휨진 인덱스 페어링은 명시적인 값 $\frac{C}{2}\big{(}2l+1 - [2l+1]_{q^{1/2}}\big{)}$을 얻으며, 이는 비자명한 인덱스 불변량을 보여준다.
• PodleÑés 구에 대한 스펙트럴 트리플은 가중치 $\phi$에 대해 3-summable 모듈러 스펙트럴 트리플임이 입증되었으며, 그 카라테오도리 특성은 $H^2_{\lambda}(\mathcal{A}(S_q^2)/\mathbb{C}, \sigma_i^F)$에 속한다.
• PodleÑés 구의 비감소 카라테오도리 특성이 [Krä08]에서의 기본 호흐실트 클래스와 일치할 것이라 추측되며, 깊은 코hom로지컬 호환성을 시사한다.
• 유도된 $L^p$-공간의 구축은 특히 반유한 설정에서 비가환 기하학에서 가중치와 추적을 분석하는 데 새로운 기술적 도구를 제공한다.