[논문 리뷰] On morphisms of compact Kähler manifolds with semi-positive holomorphic sectional curvature

Shin‐ichi Matsumura|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 24.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 다양체에 대한 구조 정리를 수립한다. 이를 위해, 극소적 효과적 표준 번들의 다양체로의 매핑이 항상 매끄럽고, 그 이미지는 복소 토러스의 유한 에탈 커버를 가지며, 다양체가 프로젝티브일 경우 모든 섬유는 서로 동형임을 증명한다. 또한, 진정으로 평탄한 접선 벡터가 없는 경우 이러한 다양체가 유리 연결임을 보여 Yau의 추측을 일반화하고, 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 표면에 대한 균일화 정리를 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, with the aim of establishing a structure theorem for a compact Kähler manifold $X$ with semi-positive holomorphic sectional curvature, we study a morphism $ϕ: X o Y$ to a compact Kähler manifold $Y$ with pseudo-effective canonical bundle. We prove that the morphism $ϕ$ is always smooth (that is, a submersion), the image $Y$ admits a finite etale cover $T o Y$ by a complex torus $T$, and further that all the fibers are isomorphic when $X$ is projective. Moreover, by applying a modified method to maximal rationally connected fibrations, we show that $X$ is rationally connected, if $X$ is projective and $X$ has no truly flat tangent vectors at some point (which is satisfied when the holomorphic sectional curvature is quasi-positive). This result gives a generalization of Yau's conjecture. As a further application, we obtain a uniformization theorem for compact Kähler surfaces with semi-positive holomorphic sectional curvature.

연구 동기 및 목표

• 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 다양체에 대한 구조 정리를 수립한다.
• 양성적 복소 구조 곡률을 가진 다양체에 대한 Yau의 추측, 즉 유리 연결성에 대한 일반화를 시도한다.
• 모크의 준양성적 이중곡률에 대한 결과를 복소 구조 곡률의 설정으로 확장한다.
• 이러한 다양체에서 극소적 효과적 표준 번들을 가진 컴팩트 카플러 다양체로의 매핑의 기하학을 조사한다.
• 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 표면에 대한 균일화 정리를 증명한다.

제안 방법

• 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 다양체 X에서 극소적 효과적 표준 번들을 가진 컴팩트 카플러 다양체 Y로의 매핑 φ:X→Y를 분석한다.
• 최대 유리 연결 분할(MRC 분할)에 수정된 방법을 적용하여 이미지의 차원과 섬유의 구조를 연구한다.
• 진정으로 평탄한 접선 벡터의 최대 차원을 측정하는 불변량 n_tf(X,g) = dim X − inf_p dim V_flat,p를 도입한다.
• 진정으로 평탄한 접선 벡터와 RC 양성의 개념을 사용하여 곡률의 양성과 유리 연결성 간의 관계를 규명한다.
• 고전적 Ehresmann 정리를 적용하여, 타원 곡선 위의 룰러 표면의 범피복체가 C×P¹임을 보인다.
• 반정의적 반표준 번들의 가정 하에 Cao-Höring [CH17]의 구조 정리를 활용하여 추측 1.3을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 다양체의 최대 유리 연결 분할은 항상 매핑으로 선택될 수 있는가?
• RQ2 MRC 분할에 의한 이미지의 접속 벡터장의 풀림이 적분 가능한 분할을 유도하는가?
• RQ3 MRC 분할의 섬유는 n_tf 불변량이 그 차원과 일치하는 카플러 메트릭을 가질 수 있는가?
• RQ4 이러한 분할에 대해 dim X = dim Y + n_tf(X,g)의 등식이 성립하는가?
• RQ5 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 다양체가 자동으로 프로젝티브이자 유리 연결이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• X가 반양성적 복소 구조 곡률을 가지며 Y가 극소적 효과적 표준 번지를 가질 경우, 매핑 φ:X→Y는 항상 매끄럽다(부드러운 매칭).
• 이미지 Y는 복소 토러스 T의 유한 에탈 커버를 가지며, 이는 Y가 유한 분지 없는 커버를 통해 아벨 다양체임을 의미한다.
• X가 프로젝티브일 경우 매핑의 모든 섬유는 서로 동형이므로, 국소적으로 평탄한 섬유의 구조를 가진다.
• n_tf(X,g) = dim X일 경우 X는 유리 연결이다. 이는 복소 구조 곡률가 준양성적일 때 성립한다.
• 반양성적 복소 구조 곡률을 가진 컴팩트 카플러 표면에 대해 균일화 정리를 수립하였으며, 이는 타원 곡선 위의 룰러 표면일 경우 그 범피복체가 C×P¹임을 보여준다.
• 반정의적 반표준 번지를 가진 프로젝티브 다양체에 대해 추측 1.3을 Theorem 1.4와 Cao-Höring의 구조 정리를 결합하여 긍정적으로 해결하였다.