[논문 리뷰] On multicurve models for the term structure

Laura Morino, Wolfgang J. Ruggaldier|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 21.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 13인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 다중곡선 프레임워크 하에서 이자율 파생상품을 정가하는 데 사용되는 이중곡선 아핀 단기금리 모델을 제안한다. 여기서 한 곡선은 현금흐름을 할인하기 위한 것(OIS)이고, 다른 곡선은 포워드 금리를 생성하기 위한 것(LIBOR)이다. 이 논문은 FRAs와 CAPs에 대한 깔끔한 정가 공식을 유도하고, 스프레드 리스크의 영향을 수량화하는 명시적인 '조정 요소'를 도입하여, 아핀 동역학 하에서 일곡선 및 이곡선 정가 간 직접 비교를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In the context of multi-curve modeling we consider a two-curve setup, with one curve for discounting (OIS swap curve) and one for generating future cash flows (LIBOR for a give tenor). Within this context we present an approach for the clean-valuation pricing of FRAs and CAPs (linear and nonlinear derivatives) with one of the main goals being also that of exhibiting an "adjustment factor" when passing from the one-curve to the two-curve setting. The model itself corresponds to short rate modeling where the short rate and a short rate spread are driven by affine factors; this allows for correlation between short rate and short rate spread as well as to exploit the convenient affine structure methodology. We briefly comment also on the calibration of the model parameters, including the correlation factor.

연구 동기 및 목표

• 선형 및 비선형 이자율 파생상품(FRAs, CAPs)에 대한 깔끔한 정가 프레임워크를 이곡선 설정 하에서 개발하기.
• 할인 목적(예: OIS)을 위한 하나의 곡선과 포워드 금리 생성 목적(예: LIBOR)을 위한 다른 곡선을 사용하여 수익률 구조를 모델링하기.
• 일곡선 정가와 이곡선 정가 간의 차이를 수량화하는 명시적인 조정 요소를 유도하여, 쿼모 또는 베이시스 조정과 유사한 형태로 표현하기.
• 단기금리 및 스프레드 과정의 아핀 구조를 활용하여 위험 중립 측도 하에서 해석 가능한 정가 공식을 도출하기.
• 캘리브레이션 및 비선형 파생상품(예: 캡렛)으로의 확장을 위한 기반 마련을 위해 정방향 측도 및 푸리에 변환 기법을 활용하기.

제안 방법

• 단기금리와 그 스프레드(신용/ liqudity 리스크를 나타냄)가 평균 회귀적인 옴스타인-울렌벡 과정에 의해 구동되는 이변량 아핀 모델을 수립한다.
• 단기금리에 스프레드 $ s_t $ 가 포함된 측도 하에서 할인 현금흐름의 기대값으로 허구적 위험 있는 채권 가격 $ \bar{p}(t,T) $ 를 정의하며, 아핀 구조를 유지한다.
• FRA 가격을 단기금리와 그 스프레드 간 상관관계를 포함한 지수 조정 항과 함께 비율 $ p(t,T)/p(t,T+\Delta) $ 의 함수로 유도한다.
• 정방향 측도 하에서 로그 할인 요인의 모멘트 생성 함수를 사용하여 푸리에 변환 기법을 통해 캡렛을 정가한다.
• 위험 중립 측도 $ Q $ 와 $ T+\Delta $-정방향 측도 $ Q^{T+\Delta} $ 간의 Radon-Nikodym 도함수를 적용하여 아핀 구조를 유지한다.
• 조정 요소를 명시적으로 $ \exp\left[\kappa(\sigma^1)^2\tilde{B}^1\int_t^T B^1(u,T)e^{-b^1(T-u)}du\right] $ 로 표현하며, 이는 모델 매개변수와 상관관계에 의존한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대차대차 리스크 없이 이곡선 프레임워크 하에서 FRA에 대한 깔끔한 정가 공식을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 아핀 모델에서 일곡선 정가와 이곡선 정가 간의 차이를 수량화하는 조정 요소의 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ3 단기금리 및 스프레드 과정의 아핀 구조는 어떻게 활용되어 선형 및 비선형 파생상품에 대한 해석 가능한 정가 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ4 정방향 측도 및 푸리에 변환 기법을 사용하여 FRA에서 캡렛 정가를 어떻게 확장할 수 있으며, 이때 모델 일관성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 단기금리와 스프레드 간 상관관계는 조정 요소의 크기에 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 이곡선 모델에서 FRA 가격은 $ \bar{\nu}_{t,T} = \frac{p(t,T)}{p(t,T+\Delta)} \cdot E^Q\left[\frac{p(T,T+\Delta)}{\bar{p}(T,T+\Delta)} \mid \mathcal{F}_t\right] \cdot \exp\left[\kappa(\sigma^1)^2\tilde{B}^1\int_t^T B^1(u,T)e^{-b^1(T-u)}du\right] $ 로 주어지며, 이는 조정 요소를 포함한다.
• 조정 요소는 명시적으로 $ \exp\left[\kappa(\sigma^1)^2\tilde{B}^1\int_t^T B^1(u,T)e^{-b^1(T-u)}du\right] $ 로 도출되었으며, 이는 단기금리 및 스프레드 요소의 변동성, 평균 회귀성 및 상관관계에 의존한다.
• 조정 요소의 적분은 $ \frac{1}{2(b^1)^3}\left(1 - e^{-b^1\Delta}\right)\left(1 - e^{-b^1(T-t)}\right)^2 $ 로 평가되어 조정 요소에 대한 닫힌 형태의 표현식을 제공한다.
• 캡렛의 경우, 정가 공식은 정방향 측도 하에서 $ X = -\log\bar{p}(T,T+\Delta) $ 의 모멘트 생성 함수를 사용하여 푸리에 변환으로 표현된다.
• 정방향 측도 하에서의 모멘트 생성 함수는 $ Q $-측도의 버전과 곱셈 형태의 인자 $ A(z; \theta, \kappa, \Psi_0^1, \Psi_0^3) $ 로 연결되며, 아핀 구조 덕분에 명시적으로 계산 가능하다.
• 이 모델은 단기금리 및 스프레드 동역학, 포함 상관관계까지도 아핀 요소의 공동 동역학을 통해 캘리브레이션 가능하며, 실용적 구현을 가능하게 한다.