[논문 리뷰] On $(N(k),\xi)$-semi-Riemannian manifolds: Semisymmetries

Mukut Mani Tripathi, Punam Gupta|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 28.

Geometric Analysis and Curvature Flows참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체를 도입하고, ${\rm T}_a$, ${\rm W}_i$, ${\rm W}_j^*$와 같은 다양한 곡률 텐서의 반대칭성 성질을 조사한다. 특히, 대수적 조건 하에서 $\rho$-${\rm T}_a$-평탄한 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체가 $\rho$-Einstein임을 증명하고, $(\rho_a, S_{\rho_b})$-반대칭성 조건을 만족하는 다양체를 분류하여, 이들이 혹은 Einstein 다양체이거나 일정 곡률을 가짐을 보였다.

ABSTRACT

$(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are defined. Examples and properties of $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are given. Some relations involving ${\\cal T}_{a}$-curvature tensor in $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are proved. $\\xi $-${\\cal T}_{a}$-flat $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are defined. It is proved that if $M$ is an $n$-dimensional $\\xi $-${\\cal T}_{a}$-flat $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifold, then it is $\\eta $-Einstein under an algebraic condition. We prove that a semi-Riemannian manifold, which is $T$-recurrent or $T$-symmetric, is always $T$-semisymmetric, where $T$ is any tensor of type $(1,3)$. $({\\cal T}_{a}, {\\cal T}_{b}) $-semisymmetric semi-Riemannian manifold is defined and studied. The results for ${\\cal T}_{a}$-semisymmetric, ${\\cal T}_{a}$-symmetric, ${\\cal T}_{a}$-recurrent $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are obtained. The definition of $({\\cal T}_{a},S_{{\\cal T}_{b}})$-semisymmetric semi-Riemannian manifold is given. $({\\cal T}_{a},S_{{\\cal T}_{b}})$-semisymmetric $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are classified. Some results for ${\\cal T}_{a}$-Ricci-semisymmetric $(N(k),\\xi)$-semi-Riemannian manifolds are obtained.

연구 동기 및 목표

• 접촉 메트릭 및 Sasakian 구조의 일반화로 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체를 정의하고 연구하기.
• $(N(k),\rho)$-다양체의 맥락에서 ${\rm T}_a$, ${\rm W}_i$, ${\rm W}_j^*$와 같은 다양한 곡률 텐서를 포함한 반대칭성 조건을 분석하기.
• 특정 대수적 제약 조건 하에서 $\rho$-${\rm T}_a$-평탄성이 $\rho$-Einstein 구조로 이어지는 조건을 확립하기.
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-반대칭성 조건을 만족하는 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체를 분류하고 기하적 특성화를 도출하기.
• ${\rm W}_1^*, {\rm W}_2, \text{etc.}$와 같은 다수의 곡률 텐서에 대한 Ricci-반대칭성 조건을 조사하고, 특수한 경우에서 Ricci 텐서의 명시적 표현을 유도하기.

제안 방법

• $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체의 구조를 $N(k)$-접촉 메트릭 및 $\rho$-Sasakian 다양체의 일반화로 도입하기.
• ${\rm T}_a$-곡률 텐서를 conformal, quasi-conformal, projective 유형을 포함하는 일반화된 곡률 텐서로 정의하기.
• $(1,3)$형 텐서 $T$에 대해 반대칭성 조건 $R(X,Y)\nabla T = 0$를 적용하고, $T$-재귀적 또는 $T$-대칭인 다양체가 항상 $T$-반대칭임을 증명하기.
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-반대칭성 조건을 도입하며, 여기서 $S_{\rho_b}$는 $\rho_b$와 관련된 Ricci 텐서이며, 구조적 제약 조건을 유도하기.
• $(N(k),\rho)$-다양체에서의 대수적 항등식과 곡률 관계를 활용하여, 다양한 ${\rm W}_i$-텐서에 대해 Ricci-반대칭성 조건 하에서 Ricci 텐서 $S$의 명시적 공식을 도출하기.
• 접촉 메트릭 및 Sasakian 기하학에서 알려진 기하 항등식을 적용하여 특수한 경우(예: $k=1$, $\rho$-Sasakian)에서 곡률 표현식을 단순화하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 조건에서 $\rho$-${\rm T}_a$-평탄한 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체가 $\rho$-Einstein일까?
• RQ2 $(\rho_a, S_{\rho_b})$-반대칭성 조건을 만족하는 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체는 어떻게 분류되는가?
• RQ3 ${\rm T}_a$-반대칭성 조건을 만족하는 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체가 반드시 ${\rm T}_a$-평탄이거나 일정 곡률을 가질 수 있는가?
• RQ4 $N(k)$-접촉 메트릭, Sasakian, Kenmotsu 다양체에서 ${\rm W}_i$-Ricci-반대칭성 조건이 Ricci 텐서 표현에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ5 다양한 곡률 텐서 ${\rm T}_a$에 대해 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체가 $\rho$-${\rm T}_a$-평탄해지기 위한 필요 및 충분조건은 무엇인가?

주요 결과

• 차원 수가 $n$인 $\rho$-${\rm T}_a$-평탄한 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체는 Ricci 텐서와 곡률 텐서 사이에 대수적 조건이 성립할 경우 $\rho$-Einstein이다.
• ${\rm T}_a$-반대칭성 조건을 만족하는 $(N(k),\rho)$-semi-Riemannian 다양체는 곡률 텐서 ${\rm T}_a}$의 종류에 따라 $\rho$-Einstein이거나 일정 곡률을 가진다.
• ${\rm W}_1^*$-Ricci-반대칭성 조건을 만족하는 다양체에서는 $N(k)$-접촉 메트릭 다양체에 대해 $S = k(n-1)g$, Sasakian 다양체에 대해 $S = (n-1)g$, Kenmotsu 다양체에 대해 $S = - (n-1)g$를 만족한다.
• ${\rm W}_4$-Ricci-반대칭성 조건을 만족하는 다양체에서는 Sasakian 다양체에 대해 $S^2 = (n-1)S - (n-1)^2g + (n-1)^2\theta \theta$를 만족한다.
• ${\rm W}_9$-Ricci-반대칭성 조건을 만족하는 다양체에서는 Ricci 텐서가 $\theta \theta$에 비례하며, $N(k)$-접촉 메트릭 다양체에 대해 $S = k(n-1)\theta \theta$, Sasakian 다양체에 대해 $S = (n-1)\theta \theta$를 만족한다.
• $(\rho_a, S_{\rho_b})$-반대칭성 조건은 분류로 이어지며, 곡률 유형과 $\rho$의 구조에 따라 이러한 다양체는 혹은 Einstein 다양체이거나 일정 곡률을 가진다.