[논문 리뷰] On noncommutative and commutative equivalence for BFYM theory : : Seiberg-Witten map

H. Benaoum|ArXiv.org|2000. 04. 01.

Noncommutative and Quantum Gravity Theories인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^4$ 위에서 비환류와 환류 BFYM 이론 간에 Seiberg-Witten 게이지 등가 맵을 구축하며, 비환류 작용이 고차원 게이지 불변 항목을 제외하고는 일반 장에 대해 기술될 수 있음을 보여준다. $U(1)$ BFYM 이론의 경우, 맵은 비환류 매개변수 $\theta$ 에 대한 멱급수를 통해 비환류 장과 환류 장을 명시적으로 연결하며, 비환류 작용은 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 와 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 를 포함하는 변형된 환류 작용과 등가이며, 전체 도함수와 $O(\theta^2)$ 보정 항을 제외하고는 같다.

ABSTRACT

BFYM on commutative and noncommutative ${\mathbb{R}}^4$ is considered and a Seiberg-Witten gauge-equivalent transformation is constructed for these theories. Then we write the noncommutative action in terms of the ordinary fields and show that it is equivalent to the ordinary action up to higher dimensional gauge invariant terms.

연구 동기 및 목표

• 비환류 및 환류 BFYM 이론 간의 게이지 등가 맵을 $\mathbb{R}^4$ 위에서 수립하기 위해.
• Seiberg-Witten 맵를 사용하여 비환류 BFYM 이론이 일반 장에 의해 표현될 수 있음을 보이기 위해.
• 비환류 BFYM 작용이 전체 도함수와 $O(\theta^2)$ 보정 항을 제외하고는 변형된 환류 작용과 등가임을 보이기 위해.
• 비환류 및 환류 BFYM 이론 간의 물리적 등가성이 동일한 기본 장 이론의 다른 정규화 체계에서 기인함을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 비환류성 매개변수 $\theta$ 의 무한소 변화에 대한 미분 방정식을 해결하여 Seiberg-Witten 맵를 구성하며, Moyal $\ast$-곱의 일阶 전개를 사용한다.
• 비환류 장 $\hat{A}_i$, $\hat{B}_{ij}$, $\hat{F}_{ij}$ 의 게이지 변환 법칙을 환류 장 $A_i$, $B_{ij}$, $F_{ij}$ 에 대해 $O(\theta^2)$ 까지 유도한다.
• 비환류 라그랑지안에 Seiberg-Witten 맵를 대입하여 비환류 BFYM 작용 $\hat{S}$ 를 일반 장으로 표현한다.
• $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 와 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 의 항등식을 사용하여 비환류 장를 환류 장의 변형된 형태로 재표현한다.
• 게이지 매개변수 $\hat{\lambda}$ 의 변환 법칙을 유도하고, $\theta$ 의 일계수에서 게이지 대수와의 일致성을 확인한다.
• 결과로 얻어진 비환류 작용이 전체 도함수와 고차 $\theta$ 보정 항을 제외하고는 환류 작용과 다름이 없음을 검증하며, 게이지 불변성이 유지됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비환류 및 환류 BFYM 이론 간에 $\mathbb{R}^4$ 위에서 Seiberg-Witten 맵를 구성할 수 있는가?
• RQ2 비환류 게이지 장 $\hat{A}_i$, $\hat{B}_{ij}$, $\hat{F}_{ij}$ 는 $\theta$ 의 일계수에서 그 환류 대응체 $A_i$, $B_{ij}$, $F_{ij}$ 와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ3 비환류 BFYM 작용은 변형된 환류 BFYM 작용과 등가인가? 만약 그렇다면, 그 변형의 형태는 무엇인가?
• RQ4 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 와 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 의 재정의는 비환류 및 환류 형태 간의 등가성에서 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 등가성이 동일한 기본 장 이론의 다른 정규화 체계에서 기인하는 것으로 이해할 수 있는가?

주요 결과

• BFYM 이론에 대한 Seiberg-Witten 맵는 $\theta$ 에 대한 멱급수를 통해 비환류 장와 환류 장를 연결하며, $O(\theta^2)$ 까지 명시적인 표현식이 유도되었다.
• $U(1)$ BFYM 이론의 경우, 비환류 게이지 장는 $\hat{A}_i = A_i - \frac{i}{2}\theta^{kl}A_k(\partial_l A_i + F_{li}) + O(\theta^2)$ 이며, 게이지 매개변수의 변환은 $\hat{\lambda} = \lambda + \frac{i}{2}\theta^{kl}\partial_k\lambda A_l + O(\theta^2)$ 로 주어진다.
• 비환류 장 강도는 $\hat{F}_{ij} = F_{ij} + i\theta^{kl}(F_{ik}F_{jl} - A_k\partial_l F_{ij}) + O(\theta^2)$ 로 변환된다.
• 비환류 작용 $\hat{S}$ 는 $\frac{1}{1+iB\theta}B$ 와 $\frac{1}{1+iF\theta}F$ 를 포함하는 변형된 환류 작용과 등가이며, 보정 항은 전적으로 전체 도함수와 $O(\theta^2)$ 항으로만 나타난다.
• 등가성은 작용 수준에서 성립하며, 비환류 이론은 필드 재정의 하에 수정된 환류 이론과 물리적으로 등가이다.
• 일정한 장의 경우, 맵는 $\hat{B}_{ij} = \frac{1}{1+iB\theta}B_{ij}$ 와 $\hat{F}_{ij} = \frac{1}{1+iF\theta}F_{ij}$ 로 단순화되며, 미분 방정식 접근과의 일致성을 확인한다.