[논문 리뷰] On one class of fractal sets

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 15.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 s진 전개에서 숫자 사용을 제한함으로써 정의되는 새로운 프랙탈 집합 클래스 𝒮_{(s,u)}를 제안한다. 특히, 초기 자리 이외의 위치에서 숫자 u와 0을 금지한다. 이러한 집합의 하우스도르프-베식로비치 차원을 계산하는 일반 정리를 수립하고, 정규 수(각 숫자의 빈도가 균일한 수)가 존재하는 것은 오직 𝒮_{(3,0)}에서만 가능하다는 것을 증명한다. 이 경우 차원은 log₃(2)/3과 log₃(2/(√5−1)) 사이로 유계되어 있다.

ABSTRACT

In the present article a new class $Υ$ of all sets represented in the following form is introduced: $$ \mathbb S_{(s,u)}\equiv\left\{x: x= Δ^{s}_{{\underbrace{u...u}_{α_1-1}} α_1{\underbrace{u...u}_{α_2 -1}}α_2 ...{\underbrace{u...u}_{ α_n -1}}α_n...}, α_n \in A_0, α_n e u, α_n e 0 ight\}, $$ where $2

연구 동기 및 목표

• 제한된 s진 숫자 수열을 바탕으로 하는 새로운 프랙탈 집합 클래스 𝒮_{(s,u)}를 정의하고 분석하는 것. 여기서 숫자 u와 0은 초기 자리 이외의 위치에서 제외된다.
• 이 집합들의 위상적, 측도적, 프랙탈적 성질을 연구하며, 특히 그 구조와 차원에 집중한다.
• 정규 수—s진 전개에서 각 숫자의 빈도가 균일한 수—가 이러한 집합에 속하는 조건을 규명하는 것.
• s진 표현에서 금지된 숫자 패턴을 가진 집합의 하우스도르프-베식로비치 차원을 계산하는 일반적인 방법을 수립하는 것.

제안 방법

• 집합 𝒮_{(s,u)}는 각 원소가 A₀ = {1, ..., s−1}에서 온 비영 숫자의 순서열로 이루어지며, 이들 사이에 (s−1)번 반복된 u가 끼워진 구조로 정의된다. 여기서 u ≠ 0 이고 u ≠ αₙ 이다.
• 𝒮_{(s,0)}의 원소와 (A₀)∞에 속하는 수열 사이의 전단사 사상이 존재함을 증명함으로써, 이 집합이 비가чёт 가능하다는 것을 보인다. 이를 위해 기존의 비가чёт 가능한 칸토어 유형 집합에 사상한다.
• 실린더 집합은 𝒮_{(s,0)}의 원소 중 초기 비영 숫자가 고정된 부분집합으로 정의되며, 기하급수를 이용해 그 하한과 상한을 계산함으로써 측도적 구조를 분석한다.
• 집합을 자가유사적 구조로 모델링하고, 숫자 위치와 금지된 패턴에 따라 스케일링 요소를 설정함으로써 일반적인 차원 공식을 유도한다.
• 자기유사성은 재귀적 분해를 통해 검증되며, 차원은 α₀가 ∑(1/s)^{N(σᵢ)α₀} = 1을 만족하는 조건을 통해 계산된다. 여기서 N(σᵢ)는 각 블록의 숫자 개수이다.
• 정규 수 문제를 분석하기 위해 s진 전개에서 숫자 i의 점근적 빈도를 평가한다. 오직 s=3 이고 u=0일 때만 모든 숫자의 빈도가 1/s가 될 수 있다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 s와 u의 어떤 값에 대해 집합 𝒮_{(s,u)}가 정규 수를 포함하는가? 즉, s진 전개에서 각 숫자의 빈도가 1/s로 균일한 수가 존재하는가?
• RQ2 주어진 숫자 제한 조건 하에서 집합 𝒮_{(s,u)}의 하우스도르프-베식로비치 차원은 얼마인가?
• RQ3 𝒮_{(s,u)}의 구조는 자가유사 집합과 칸토어 유형 구성과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 s진 전개에서 금지된 숫자 패턴을 가진 임의의 집합에 대해 하우스도르프 차원에 대한 일반 공식을 도출할 수 있는가?
• RQ5 특히 실린더 집합과 그 경계에 관해, 𝒮_{(s,0)}의 위상적 및 측도적 구조는 어떠한가?

주요 결과

• ⋃_{u=0}^{s−1} 𝒮_{(s,u)} 내의 정규 수 집합은 s=3일 때에만 비어 있지 않으며, 이 경우 𝒮_{(3,0)}의 연속체 부분집합이 된다.
• s=3일 때, 정규 수 부분집합의 하우스도르프-베식로비치 차원 α₀는 1/3 log₃2 ≤ α₀ ≤ log₃(2/(√5−1))를 만족한다.
• s≠3일 경우, ⋃_{u=0}^{s−1} 𝒮_{(s,u)} 내의 정규 수 집합은 비어 있으며, 이는 구조적 제약으로 인해 숫자 0의 빈도가 1/s에 도달할 수 없기 때문이다.
• 𝒮_{(3,0)}의 하우스도르프-베식로비치 차원은 정확히 log₃(2/(√5−1))이며, 자기유사성 방정식 2(1/3)^{3α₀} = 1 에서 유도된다.
• 𝒮_{(3,0)} 내의 최소 정규 수 부분집합 S′₃의 차원은 1/3 log₃2 이며, 방정식 2(1/3)^{3α₀} = 1 에서 계산된다.
• 일반 정리가 증명되었으며, s진 전개에서 금지된 숫자 패턴을 가진 임의의 집합의 하우스도르프-베식로비치 차원은 ∑(1/s)^{N(σᵢ)α₀} = 1 을 만족하는 α₀를 푸는 것으로 결정된다. 여기서 N(σᵢ)는 각 허용 블록의 길이이다.