[논문 리뷰] On one nearly everywhere continuous and nowhere differentiable function, that defined by automaton with finite memory

Symon Serbenyuk|arXiv (Cornell University)|2017. 03. 08.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 메모리 오토마타를 통해 정의된 새로운 함수를 제안하며, 이 함수는 [0,1] 내 실수의 삼진수 전개의 숫자를 특정 치환 규칙 0→0, 1→2, 2→1를 사용해 변환한다. 이 함수는 거의 everywhere에서 연속이지만 곳곳에서 미분 가능하지 않으며, 그래프의 하우스도르프-베식로비치 차원은 1이고 르베그 적분은 1/2이다. 이 함수는 자기 유사성 기반의 함수 방정식으로 표현 가능하며, 삼진수 자릿수의 순열을 통해 여섯 개의 관련 함수로 일반화된다.

ABSTRACT

This paper is devoted to the investigation of the following function $$ f: x=Δ^{3}_{α_{1}α_{2}...α_{n}...}{ ightarrow} Δ^{3}_{φ(α_{1})φ(α_{2})...φ(α_{n})...}=f(x)=y, $$ where $φ(i)=\frac{-3i^{2}+7i}{2}$, $ i \in N^{0}_{2}=\{0,1,2\}$, and $Δ^{3}_{α_{1}α_{2}...α_{n}...}$ is the ternary representation of $x \in [0;1]$. That is values of this function are obtained from the ternary representation of the argument by the following change of digits: 0 by 0, 1 by 2, and 2 by 1. This function preserves the ternary digit $0$. Main mapping properties and differential, integral, fractal properties of the function are studied. Equivalent representations by additionally defined auxiliary functions of this function are proved. This paper is the paper translated from Ukrainian (the Ukrainian variant available at https://www.researchgate.net/publication/292970012). In 2012, the Ukrainian variant of this paper was represented by the author in the International Scientific Conference "Asymptotic Methods in the Theory of Differential Equations" dedicated to 80th anniversary of M. I. Shkil (the conference paper available at https://www.researchgate.net/publication/301765319). In 2013, the investigations of the present article were generalized by the author in the paper "One one class of functions with complicated local structure" (https://arxiv.org/pdf/1601.06126.pdf) and in the several conference papers (available at: https://www.researchgate.net/publication/301765326, https://www.researchgate.net/publication/303052308).

연구 동기 및 목표

• 유한 오토마타를 사용한 삼진수 자릿수 변환으로 정의된 새로운 함수를 조사한다.
• 그 함수의 미분, 적분, 프랙탈, 함수적 성질을 분석한다.
• 보조 함수와 함수 방정식을 통해 등가 표현을 수립한다.
• 삼진수 자릿수 순열을 통해 이 구성 방식을 여섯 개의 관련 함수로 일반화한다.
• 함수 그래프의 하우스도르프-베식로비치 차원과 르베그 적분을 결정한다.

제안 방법

• 삼진수 자릿수 i ∈ {0,1,2}에 대해 φ(i) = (−3i² + 7i)/2의 자릿수 단위 변환을 통해 함수 f를 정의한다.
• 보조 함수 f₀₁, f₁₂, f₀₂를 포함한 세 가지 등가 함수 방정식을 사용하여 f를 표현하며, 자릿수 매핑 φ₀₁(i) = (i² − i)/2 등이 적용된다.
• 단위 구간을 삼진수 부분구간으로 자기 유사성과 재귀적 분해를 이용해 나누어 함수 방정식을 유도한다.
• 프랙탈 차원 이론을 적용하여 그래프를 이진 정사각형으로 덮고, 3^m (2·3^{-2m})^{α/2}의 극한을 계산하여 차원을 결정한다.
• 자기 유사성 스케일링을 통해 르베그 적분을 계산한다: I = 1/3 + (1/3)I로 얻어져 I = 1/2이다.
• 삼진수 자릿수의 모든 6가지 순열을 사용해 구성 방식을 일반화하여 fₘ (m = 1에서 6까지)를 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 삼진수 전개에서 자릿수 치환을 통해 정의된 함수 f의 미분 및 연속성 성질은 무엇인가?
• RQ2 함수 f는 보조 함수 f_ij를 통해 함수 방정식으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 함수 f의 그래프의 하우스도르프-베식로비치 차원은 얼마인가?
• RQ4 함수 f의 [0,1]에서의 르베그 적분은 얼마인가?
• RQ5 f의 성질은 삼진수 자릿수 순열 기반의 다른 함수 fₘ으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 함수 f는 [0,1]에서 측도가 0인 집합을 제외하고 거의 everywhere에서 연속이다.
• 함수 f는 거의 everywhere에서 연속이지만 곳곳에서 미분 가능하지 않다.
• 함수 f의 그래프는 하우스도르프-베식로비치 차원이 정확히 1이다.
• 함수 f의 [0,1]에서의 르베그 적분은 정확히 1/2이다.
• 함수 f는 유리수 계수를 가진 f₀₁, f₁₂, f₀₂를 포함한 세 가지 등가 함수 표현을 가진다.
• 삼진수 자릿수의 순열을 통해 얻어진 여섯 개의 함수 fₘ (m = 1에서 6까지)는 모두 동일한 핵심 성질을 공유한다: 거의 everywhere 연속성, 곳곳에서의 미분 불능성, 그래프 차원 1, 적분값 1/2.